To global asymptotic stability of dynamical systems.
Keywords:
global asymptotic stability, dynamic system, improper integrals,Abstract
We study the global asymptotic stability of dynamical systems with a countable state of equilibrium for two cases: 1) when the value of the integral of a periodic function in a period is equal to zero; 2) when the value of the integral is not equal to zero. A method for selecting an area of the global asymptotic stability in the space of the design parameters of the system is developed. The effectiveness of the method is demonstrated by two examples: the problem of phase synchronization; the motion of a simple pendulum. The proposed method of the study allows highlight a wider area of stability in the parameter space of the system, rather than the known methods. A distinctive feature of the proposed method by known methods (frequency, periodic Lyapunov functions) is that the conditions for the global asymptotic stability follows from the estimates of improper integrals along the solutions of the system. In the work the following results are obtained: the equations of motion of the system with the help of a smooth transformation is given to a special form; the identity along the solutions of the system and evaluation of solutions of the system; The asymptotic properties of functions with the limitations of the improper integral are studied; based on the evaluation of improper integrals along the solutions of the system, theorems on the global asymptotic stability of stationary set of dynamic systems are proved.References
[1] 1.Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. – М.: Наука, 1969. – 380 с.
[2] 2.Бакаев Ю.Н., Гуж А.А. Оптимальный прием сигналов частотней модуляции в условях эффекта Допплера. //Радиотехника и электроника, 1965, т. 10., №1. С. 15-27.
[3] 3.Шахгильдян В.В., Лиховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. – М.: Связь, 1972. – 364 с.
[4] 4.Янко-ТриницкийА.А. Новый метод анализа работы синхронных двигателей при резко-переменных нагрузках. – М.: Л.: Госэнерго-издат. 1958, – 240 с.
[5] 5.Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. – М.: Наука, 1971, – 320 с.
[6] 6.Triomi F. Integrazione di unequazione differentiale presentatasi in electrotechnica. // Annali della Roma schuola Normale Superiore de Pisa Scienza Physiche e Matematiche V.2, №2, 1933.
[7] 7.Americo L. Determihazione delle condizioni de stabilita per gei integrali di un‘eqazione interessante l‘electrotecnica. //Anali di Matematica puza ed applicata. t.30, 1949.
[8] 8.Seifert G. On the existence of certain solutions of nonlinear differential equations. // Zeitschrift fiir angewandte Mathematik and Physik, V.3, №3, 1952.
[9] 9.Леонов Г.А. Об устойчивости фазовых систем. – Сибирский математический журнал, 1974, №1. с. 105-120.
[10] 10.Леонов Г.А. Об одном классе динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством. // Сибирский математический журнал, 1976, №1. С. 10-20.
[11] 11.Леонов Г.А. Теорема сведения для нестационарных нелинейностей. // Вестник АГУ, 1977, №7. С. 51-62.
[12] 12.Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. – М.: Физматгиз, 1959. – 570 с.
[13] 13.Айсагалиев С.А., Айпанов Ш.А. К теории глобальной асимптотическиой устойчивости фазовых систем // Дифференциальные уравнения, 1999, – т. 35, – №8. С. 37-49.
[14] 14.Айсагалиев С.А., Иманкул Т.Ш. Теория фазовых систем. – Алматы: Қазақ универсиетi, 2005. – 272 с.
[15] 15.Айсагалиев С.А. Теория устойчивости динамических систем. – Алматы: Қазақ университетi, 2012. – 216 с.
[16] 16.Aisagaliev S.A., Kalimoldaev M.N. Certain problems of synchronization theory. J. Inverse Ill - Posed Probl. 21(2013),
pp. 159-175.
[17] 17.Абенов Б.К., Айсагалиев С.А., Калимолдаев М.Н. К абсолютной устойчивости регулируемых систем в простом критическом случае. // Математический журнал. 2014. т. 14. №1(51). С. 5-33.
[18] 18.Абенов Б.К., Айсагалиев С.А., Аязбаева А.М. К абсолютной устойчивости регулируемых систем в критическом случае. Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2014, № 4(83). С. 12-30.
[19] 19.Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубовуч В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. – М.: Наука, 1978. – 400 с.
[20] 20.Белюстина Л.Н., Быков В.В., Кивелева К.Г., Шалфеев В.Д. О величине полосы захвата системы ФАП с пропорционально интегрирующим фильтром. – Известия вузов, Радиофизика, 1970, т. 13, №4. С. 95-106.
1] 1.Barbashin E.A., Tabueva V.A. Dinamicheskie sistemy s tsilindricheskim fazovym prostranstvom. – M.: Nauka, 1969. – 380 s.
[2] 2.Bakaev Ju.N., Guzh A.A. Optimal’nyi priem signalov chastotnei modulyacii v uslovyah effekta Dopplera. // Radiotehnika i elektronika, 1965, t. 10., No 1. S. 15-27.
[3] 3.Shahgil’djan V.V., Lihovkin A.A. Sistemy fazovoi avtopodstroiki chastoty. – M.: Svjaz’, 1972. – 364 s.
[4] 4.Janko-Trinickij A.A. Novyi metod analiza raboty sinhronnyh dvigatelei pri rezko-peremennyh nagruzkah. – M.: L.: Gosenergo-izdat. 1958, – 240 s.
[5] 5.Blehman I.I. Sinhronizaciya dinamicheskih sistem. – M.: Nauka, 1971, – 320 s.
[6] 6.Triomi F. Integrazione di unequazione differentiale presentatasi in electrotechnica. // Annali della Roma schuola Normale Superiore de Pisa Scienza Physiche e Matematiche V.2, No 2, 1933.
[7] 7.Americo L. Determihazione delle condizioni de stabilita per gei integrali di un‘eqazione interessante l‘electrotecnica. // Anali di Matematica puza ed applicata. t.30, 1949.
[8] 8.Seifert G. On the existence of certain solutions of nonlinear differential equations. // Zeitschrift fiir angewandte Mathematik and Physik, V.3, No 3, 1952.
[9] 9.Leonov G.A. Ob ustoichivosti fazovyh sistem. – Sibirskii matematicheskii zhurnal, 1974, No 1. s. 105-120.
[10] 10.Leonov G.A. Ob odnom klasse dinamicheskih sistem s cilindricheskim fazovym prostranstvom. // Sibirskii matematicheskii
zhurnal, 1976, No 1. S. 10-20.
[11] 11.Leonov G.A. Teorema svedeniya dlya nestacionarnyh nelineinostei. // Vestnik AGU, 1977, No 7. S. 51-62.
[12] 12.Andronov A.A., Vitt A.A., Hajkin S.Je. Teoriya kolebanii. – M.: Fizmatgiz, 1959. – 570 s.
[13] 13.Aisagaliev S.A., Aipanov Sh.A. K teorii global’noi asimptoticheskioi ustoichivosti fazovyh sistem // Differencial’nye uravneniya, 1999, – t. 35, – No 8. S. 37-49.
[14] 14.Aisagaliev S.A., Imankul T.Sh. Teoriya fazovyh sistem. – Almaty: Qazaq universieti, 2005. – 272 s.
[15] 15.Aisagaliev S.A. Teoriya ustoichivosti dinamicheskih sistem. – Almaty: Qazaq universiteti, 2012. – 216 s.
[16] 16.Aisagaliev S.A., Kalimoldaev M.N. Certain problems of synchronization theory. J. Inverse Ill - Posed Probl. 21(2013), pp. 159-175.
[17] 17.Abenov B.K., Aisagaliev S.A., Kalimoldaev M.N. K absolyutnoi ustoichivosti reguliruemyh sistem v prostom kriticheskom sluchae. // Matematicheskii zhurnal. 2014. t. 14. No 1(51). S. 5-33.
[18] 18.Abenov B.K., Aisagaliev S.A., Ayazbaeva A.M. K absolyutnoi ustoichivosti reguliruemyh sistem v kriticheskom sluchae. Vestnik KazNU, ser. mat., meh., inf. 2014, No 4(83). S. 12-30.
[19] 19.Gelig A.H., Leonov G.A., Jakubovuch V.A. Ustoichivost’ nelineinyh sistem s needinstvennym sostoyaniem ravnovesiya. – M.: Nauka, 1978. – 400 s.
[20] 20.Belyustina L.N., Bykov V.V., Kiveleva K.G., Shalfeev V.D. O velichine polosy zahvata sistemy FAP s proporcional’no integrirujushhim fil’trom. – Izvestiya vuzov, Radiofizika, 1970, t. 13, No 4. S. 95-106.
[2] 2.Бакаев Ю.Н., Гуж А.А. Оптимальный прием сигналов частотней модуляции в условях эффекта Допплера. //Радиотехника и электроника, 1965, т. 10., №1. С. 15-27.
[3] 3.Шахгильдян В.В., Лиховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. – М.: Связь, 1972. – 364 с.
[4] 4.Янко-ТриницкийА.А. Новый метод анализа работы синхронных двигателей при резко-переменных нагрузках. – М.: Л.: Госэнерго-издат. 1958, – 240 с.
[5] 5.Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. – М.: Наука, 1971, – 320 с.
[6] 6.Triomi F. Integrazione di unequazione differentiale presentatasi in electrotechnica. // Annali della Roma schuola Normale Superiore de Pisa Scienza Physiche e Matematiche V.2, №2, 1933.
[7] 7.Americo L. Determihazione delle condizioni de stabilita per gei integrali di un‘eqazione interessante l‘electrotecnica. //Anali di Matematica puza ed applicata. t.30, 1949.
[8] 8.Seifert G. On the existence of certain solutions of nonlinear differential equations. // Zeitschrift fiir angewandte Mathematik and Physik, V.3, №3, 1952.
[9] 9.Леонов Г.А. Об устойчивости фазовых систем. – Сибирский математический журнал, 1974, №1. с. 105-120.
[10] 10.Леонов Г.А. Об одном классе динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством. // Сибирский математический журнал, 1976, №1. С. 10-20.
[11] 11.Леонов Г.А. Теорема сведения для нестационарных нелинейностей. // Вестник АГУ, 1977, №7. С. 51-62.
[12] 12.Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. – М.: Физматгиз, 1959. – 570 с.
[13] 13.Айсагалиев С.А., Айпанов Ш.А. К теории глобальной асимптотическиой устойчивости фазовых систем // Дифференциальные уравнения, 1999, – т. 35, – №8. С. 37-49.
[14] 14.Айсагалиев С.А., Иманкул Т.Ш. Теория фазовых систем. – Алматы: Қазақ универсиетi, 2005. – 272 с.
[15] 15.Айсагалиев С.А. Теория устойчивости динамических систем. – Алматы: Қазақ университетi, 2012. – 216 с.
[16] 16.Aisagaliev S.A., Kalimoldaev M.N. Certain problems of synchronization theory. J. Inverse Ill - Posed Probl. 21(2013),
pp. 159-175.
[17] 17.Абенов Б.К., Айсагалиев С.А., Калимолдаев М.Н. К абсолютной устойчивости регулируемых систем в простом критическом случае. // Математический журнал. 2014. т. 14. №1(51). С. 5-33.
[18] 18.Абенов Б.К., Айсагалиев С.А., Аязбаева А.М. К абсолютной устойчивости регулируемых систем в критическом случае. Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2014, № 4(83). С. 12-30.
[19] 19.Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубовуч В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. – М.: Наука, 1978. – 400 с.
[20] 20.Белюстина Л.Н., Быков В.В., Кивелева К.Г., Шалфеев В.Д. О величине полосы захвата системы ФАП с пропорционально интегрирующим фильтром. – Известия вузов, Радиофизика, 1970, т. 13, №4. С. 95-106.
1] 1.Barbashin E.A., Tabueva V.A. Dinamicheskie sistemy s tsilindricheskim fazovym prostranstvom. – M.: Nauka, 1969. – 380 s.
[2] 2.Bakaev Ju.N., Guzh A.A. Optimal’nyi priem signalov chastotnei modulyacii v uslovyah effekta Dopplera. // Radiotehnika i elektronika, 1965, t. 10., No 1. S. 15-27.
[3] 3.Shahgil’djan V.V., Lihovkin A.A. Sistemy fazovoi avtopodstroiki chastoty. – M.: Svjaz’, 1972. – 364 s.
[4] 4.Janko-Trinickij A.A. Novyi metod analiza raboty sinhronnyh dvigatelei pri rezko-peremennyh nagruzkah. – M.: L.: Gosenergo-izdat. 1958, – 240 s.
[5] 5.Blehman I.I. Sinhronizaciya dinamicheskih sistem. – M.: Nauka, 1971, – 320 s.
[6] 6.Triomi F. Integrazione di unequazione differentiale presentatasi in electrotechnica. // Annali della Roma schuola Normale Superiore de Pisa Scienza Physiche e Matematiche V.2, No 2, 1933.
[7] 7.Americo L. Determihazione delle condizioni de stabilita per gei integrali di un‘eqazione interessante l‘electrotecnica. // Anali di Matematica puza ed applicata. t.30, 1949.
[8] 8.Seifert G. On the existence of certain solutions of nonlinear differential equations. // Zeitschrift fiir angewandte Mathematik and Physik, V.3, No 3, 1952.
[9] 9.Leonov G.A. Ob ustoichivosti fazovyh sistem. – Sibirskii matematicheskii zhurnal, 1974, No 1. s. 105-120.
[10] 10.Leonov G.A. Ob odnom klasse dinamicheskih sistem s cilindricheskim fazovym prostranstvom. // Sibirskii matematicheskii
zhurnal, 1976, No 1. S. 10-20.
[11] 11.Leonov G.A. Teorema svedeniya dlya nestacionarnyh nelineinostei. // Vestnik AGU, 1977, No 7. S. 51-62.
[12] 12.Andronov A.A., Vitt A.A., Hajkin S.Je. Teoriya kolebanii. – M.: Fizmatgiz, 1959. – 570 s.
[13] 13.Aisagaliev S.A., Aipanov Sh.A. K teorii global’noi asimptoticheskioi ustoichivosti fazovyh sistem // Differencial’nye uravneniya, 1999, – t. 35, – No 8. S. 37-49.
[14] 14.Aisagaliev S.A., Imankul T.Sh. Teoriya fazovyh sistem. – Almaty: Qazaq universieti, 2005. – 272 s.
[15] 15.Aisagaliev S.A. Teoriya ustoichivosti dinamicheskih sistem. – Almaty: Qazaq universiteti, 2012. – 216 s.
[16] 16.Aisagaliev S.A., Kalimoldaev M.N. Certain problems of synchronization theory. J. Inverse Ill - Posed Probl. 21(2013), pp. 159-175.
[17] 17.Abenov B.K., Aisagaliev S.A., Kalimoldaev M.N. K absolyutnoi ustoichivosti reguliruemyh sistem v prostom kriticheskom sluchae. // Matematicheskii zhurnal. 2014. t. 14. No 1(51). S. 5-33.
[18] 18.Abenov B.K., Aisagaliev S.A., Ayazbaeva A.M. K absolyutnoi ustoichivosti reguliruemyh sistem v kriticheskom sluchae. Vestnik KazNU, ser. mat., meh., inf. 2014, No 4(83). S. 12-30.
[19] 19.Gelig A.H., Leonov G.A., Jakubovuch V.A. Ustoichivost’ nelineinyh sistem s needinstvennym sostoyaniem ravnovesiya. – M.: Nauka, 1978. – 400 s.
[20] 20.Belyustina L.N., Bykov V.V., Kiveleva K.G., Shalfeev V.D. O velichine polosy zahvata sistemy FAP s proporcional’no integrirujushhim fil’trom. – Izvestiya vuzov, Radiofizika, 1970, t. 13, No 4. S. 95-106.
Downloads
Issue
Section
Mathematics
