Явление начального скачка в полувырождающейся краевой задаче с нелинейными условиями. The phenomenon of initial jump in semi-degenerate boundary value problem with nonlinear conditions.
Keywords:
асимптотика, краевая задача, начальный скачок, возмущенные и невозмущенные задачи, асимптотическое поведение, asymptotic, initial jump, boundary value problem, perturbed and no perturbed problems, asymptotic behavior.Abstract
В данной работе рассматривается сингулярно возмущенные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка с нелинейными краевыми условиями не упорядоченные относительно старших производных. Для коэффициентов разложения найдены рекуррентные линейные дифференциальные уравнения и начальные условия.Найдено вырожденное уравнение. Определены условия для вырожденного уравнения. На отрезке 0 ≤ t ≤ 1 построено приближенное решение YN(t;ἐ) вспомогательной возмущенной начальной задачи с точностью порядка O(ἐ N+1). Получена равномерная асимптотика решения начальной задачи для сингулярно возмущенного уравнения с точностью до произвольного порядка... Установлены предельные равенства, выражающие связь между решением вырожденной задачи и решением исходной сингулярно возмущенной краевой задачи. Найдена формула начального скачка. Тем самым сформулирован алгоритм построения асимптотического разложения решения возмущенной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка с нелинейными краевыми условиями не упорядоченные относительно старших производных. In this paper we consider a singularly perturbed boundary value problems for ordinary dierential equations of the third order with nonlinear boundary conditions, which are not ordered with respect to the highest derivatives. For the expansion coecients recurrent linear dierential equations and initial conditions are found. We found degenerate equation. The conditions for degenerate equation are dened. On the interval 0 ≤ t ≤ 1 the approximate solution YN(t; ἐ ) of auxiliary perturbed initial problems with accuracy on the order O(ἐ N+1). We obtained a uniform asymptotic solution of the initial value problem for a singularly perturbed equation with up to an arbitrary order. Limit relations, expressing the relationships between solution of degenerate problem and solution of original singularly perturbed boundary value problem are set. A formula of the initial jump is found out. Thus, an algorithm for constructing the asymptotic expansion of solution of perturbed boundary value problems for ordinary dierential equations of the third-order nonlinear boundary conditions, which are not ordered with respect to the highest derivatives, are formulated.References
[1] Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра.// - Матем. cб. 1948, Т.22 (64), 2, с.193-204.
[2] Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матем.Сб., 1952, Т.31 (73), 3, с. 575-586.
[3] Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957, Т. 212, 5. - С. 3-122.
[4] Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых краевых задач для квазилинейных уравнений с малым параметром при старшей производной. - ДАН СССР, 1958, 123, 4, с.583-586.
[5] Иманалиев М.И. Асимптотические методы в теории сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных систем// Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе, Илим, 1962, 2, С. 21-39.
[6] Вишик М.И., Люстерник Л.А. О начальном скачке для нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр // ДАН СССР. -1960. -Т. 132, 6. -С. 1242-1245.
[7] Касымов К.А. Об асимптотике решения задачи Коши с большими начальными условиями для нелиненых обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр // УМН. 1962, Т.17, 5, С. 187-188.
[8] Дауылбаев М.К. Асимптотические оценки решений интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром.// Математический журнал. Институт математики МОН РК. -Т.8, 2008, 4(30),
[9] Касымов К.А., Нургабыл Д.Н. Асимптотические оценки решения сингулярно возмущенной краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. Москва, 2004.Т.40. 4 - С 597-607.
[10] Нургабыл Д.Н. Построение решения сингулярно возмущенной краевой задачи имеющего начальный скачок //Вестник Киргизского государственного Национального университета. 2001. сер.3., вып.6., С.173-177.
[11] Нургабыл Д.Н. Полувырождение для сингулярно возмущенных краевых задач // Тезисы докл. межд. конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения". -Алматы, 2001. -С. 51-52.
[12] Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. - М.:Наука, 1973. -272с.
[2] Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матем.Сб., 1952, Т.31 (73), 3, с. 575-586.
[3] Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957, Т. 212, 5. - С. 3-122.
[4] Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых краевых задач для квазилинейных уравнений с малым параметром при старшей производной. - ДАН СССР, 1958, 123, 4, с.583-586.
[5] Иманалиев М.И. Асимптотические методы в теории сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных систем// Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе, Илим, 1962, 2, С. 21-39.
[6] Вишик М.И., Люстерник Л.А. О начальном скачке для нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр // ДАН СССР. -1960. -Т. 132, 6. -С. 1242-1245.
[7] Касымов К.А. Об асимптотике решения задачи Коши с большими начальными условиями для нелиненых обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр // УМН. 1962, Т.17, 5, С. 187-188.
[8] Дауылбаев М.К. Асимптотические оценки решений интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром.// Математический журнал. Институт математики МОН РК. -Т.8, 2008, 4(30),
[9] Касымов К.А., Нургабыл Д.Н. Асимптотические оценки решения сингулярно возмущенной краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. Москва, 2004.Т.40. 4 - С 597-607.
[10] Нургабыл Д.Н. Построение решения сингулярно возмущенной краевой задачи имеющего начальный скачок //Вестник Киргизского государственного Национального университета. 2001. сер.3., вып.6., С.173-177.
[11] Нургабыл Д.Н. Полувырождение для сингулярно возмущенных краевых задач // Тезисы докл. межд. конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения". -Алматы, 2001. -С. 51-52.
[12] Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. - М.:Наука, 1973. -272с.
Downloads
Issue
Section
Mechanics, Mathematics, Computer Science
