Неравенство типа Бочкарева. Inequality type Bochkarev

Abstract

В работе изучается зависимость свойств суммируемых рядов Фурье и их коэффициентов, а именно, что можно сказать о коэффициентах Фурье функции, которые принадлежат пространству Лоренца L2,r. В статье получено новое доказательство теоремы Бочкарева С.В.,который показал, что неравенства типа Харди- Литтлвуда, которые показывают связь интегральных свойств функций и свойств суммируемости ее коэффициентов Фурье для тригонометрических систем имеют другой вид для функции из пространства Лоренца L2,r, чем для функции из пространства Lp,r при p ̸= 2, в случае когда r удовлетворяет следующему условию 2 < r ≤ ∞. Методы доказательства Бочкарева С.В. основывались на специфике тригонометрических рядов. В статье используется другой подход, базирующийся на экстраполяции линейных операторов. Этот метод позволил получить новое доказательство неравенства типа Харди - Литтлвуда в случае 2 < r ≤ ∞ и доказать новый результат в случае 1 < r ≤ 2 для произвольных ортонормированных систем в пространствах Лоренца L2,r. CWe study the dependence of the properties of summable Fourier series and their coecients, namely, what can we say about the Fourier coecients of a function that belongs to the Lorentz L2,r. In this paper a new proof of S.V. Bochkarev, which showed that the inequalities of Hardy-Littlewood, which show the relationship of integral properties of the functions and properties of summability of its Fourier coecients for trigonometric systems have another view of the Lorentz spaces L2,r, in the case when r satises the condition 2 < r ≤ ∞. Methods of proof S.V. Bochkarev based on the specics of trigonometric series. The article takes a dierent approach, based on the extrapolation of linear operators. This method allowed us to obtain a new proof of an inequality of Hardy - Littlewood in the case 2 < r ≤ ∞ and prove a new result in the case 1 < r ≤ 2 for arbitrary orthonormal systems in Lorentz spaces L2,r.