Об одной задаче для волнового уравнения с данными на всей границе. On a problem for the wave equation with data on the whole boundary. (Journal of Mathematics Mechanics and Computer Science, 2013)
В настоящей работе нами предлагаются две новые постановки краевых задач для волнового уравнения в прямоугольной области, в которой краевые условия задаются на всей границе области. Доказывается корректность сформулированных задач в классическом и обобщенном смыслах. Для обоснования их корректности необходимо иметь эффективное представление общего решения задачи. В этом направлении нами получена удобная формула представления общего решения волнового уравнения в прямоугольной области, основанная на классической формуле Даламбера. При этом построенное общее решение уже заведомо удовлетворяет краевым условиям по пространственной переменной. Далее, задавая различные краевые условия по временной переменной, мы получаем некоторые функциональные или функциональнодифференциальные уравнения. Таким образом, доказательство корректности сформулированных задач нами сведено к вопросу существования и единственности решения соответствующего функционального уравнения.In this paper, we propose two new boundary value problems for the wave equation in a rectangular area in which boundary conditions are given on the whole boundary. We prove the correctness of boundary value problems in the classical and generalized sense. In order to show the correctness of these problems, It is necessary to be an effective representation of the general solution of the problem. In this direction obtained a convenient representation of the general solution for the wave equation in a rectangular region based on classical formula of D’Alembert . The constructed general solution automatically satisfies the boundary conditions by the spatial variable. Further, assigning different boundary conditions for temporary variable, we get some functional or functionaldifferential equations. Thus, the proof of the correctness of the given problems we come to question of the existence and uniqueness of solutions to the corresponding functional equations.