Лемма Ван дер Корпута с функциями Бесселя

Аннотация

В данной статье мы изучаем аналоги лемму Ван дер Корпута [19] с функциями Бесселя. В гармоническом анализе одной из важнейших оценок является лемма Ван дер Корпута, которая является оценкой осциллирующих интегралов. Эта оценка впервые была получена голландским математиком Йоханнесом Голтерусом ван дер Корпутом. Ван дер Корпут интересовался поведением при больших положительных λ осциллирующего интеграла R b a e iλφ(x)ψ(x)dx,, где φ - вещественная гладкая функция (фаза), а ψ - комплексная гладкая функция (амплитуда). В случае a = −∞, b = +∞ предполагается, что ψ имеет компактный носитель в R. В нашем случае показательная функция заменяется функциями Бесселя, чтобы изучить осциллирующие интегралы, возникающие при анализе волнового уравнения с сингулярным затуханием. В частности, мы изучаем интеграл вида I(λ) = R b a Jn(λφ(x))ψ(x)dx для диапазона n = 0 , где ψ ∈ C и гладкие, а λ - положительное действительное число, которое может меняться. Доказаны обобщения леммы Ван дер Корпута. В качестве приложения полученных результатов рассматривается обобщенная лемма Римана-Лебега.