ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИСТОЧНИКА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

Аннотация

В работе исследуется линейная обратная краевая задача для гиперболического уравнения второго порядка с неизвестной правой частью, зависящей от времени. Рассматриваемая задача задается начальными условиями, условием Неймана, нелокальным интегральным условием и дополнительным условием. Целью исследования является установление условий существования и единственности классического решения поставленной обратной задачи. При выполнении условий нулевого среднего значения и условий согласования исходная задача с нелокальным интегральным условием сводится к эквивалентной вспомогательной задаче с однородными условиями Неймана на обоих концах и дополнительным соотношением, для которой устанавливается единственность решения. Для исследования разрешимости применяется метод Фурье. Решение гиперболического уравнения представляется в виде ряда по соответствующей системе собственных функций, после чего определяются коэффициенты разложения. На основании полученных представлений и оценок устанавливаются необходимые свойства искомых функций. Доказывается, что найденные функции удовлетворяют дифференциальному уравнению, начальным условиям, условию Неймана, нелокальному интегральному и дополнительному условиям в классическом смысле. В результате при сформулированных требованиях к заданным функциям и выполнении необходимых условий согласования показано, что исходная линейная обратная краевая задача для рассматриваемого гиперболического уравнения второго порядка имеет единственное классическое решение.