ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЗАВИСЯЩЕГО ОТ ВРЕМЕНИ КОЭФФИЦИЕНТА УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА ПО ИНТЕГРАЛЬНЫМ ДАННЫМ

Аннотация

Нами исследуется одна обратная задача определения коэффициента в одномерном вязком уравнении Бюргерса с периодическими граничными условиями, в котором неизвестный зависящий от времени коэффициент умножается на решение. Дополнительные данные задаются взвешенным пространственным интегралом решения. Предполагается, что периодическая весовая функция принадлежит пространству Соболева первого порядка, а заданное интегральное наблюдение отделено от нуля. Явная формула восстановления коэффициента позволяет свести обратную задачу к нагруженному уравнению Бюргерса с кубическим нелокальным членом. Неравенство Бихари позволяет контролировать возникающий в энергетической оценке суперлинейный рост и получить зависящий от данных достаточный временной порог локального существования решения. С использованием приближений Фурье–Галёркина, априорных оценок и аргументов компактности доказываются существование и единственность локального сильного решения, а также квадратичная интегрируемость восстановленного коэффициента по времени. Выполнение заданного интегрального условия устанавливается при соблюдении условия согласованности начальных данных. Численный эксперимент с известным точным решением и меняющим знак коэффициентом иллюстрирует точность восстановления и демонстрирует наблюдаемый второй порядок сходимости по пространству как для решения, так и для коэффициента.