ОПТИМАЛЬНОЕ ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕЙМАНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С H1-УПРАВЛЕНИЯМИ: СУЩЕСТВОВАНИЕ, УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ И СИЛЬНАЯ ВЫПУКЛОСТЬ

Аннотация

В данной работе исследуется задача оптимального граничного управления Неймана для одномерного уравнения теплопроводности. В качестве управляющего воздействия рассматривается тепловой поток, подаваемый на левую границу пространственной области, а целью является приведение температуры на правой границе к заданной целевой траектории на конечном временном интервале. Допустимое множество управлений принимается как ограниченное, замкнутое и выпуклое подмножество гильбертова пространства H¹(0,T), что обеспечивает повышенную регулярность по сравнению с классической постановкой в L²(0,T). Существование и единственность оптимального управления устанавливаются прямым методом вариационного исчисления совместно с сильной выпуклостью функционала стоимости. Дифференцируемость функционала стоимости по Фреше доказывается методом множителей Лагранжа, а явное выражение для градиента выводится через соответствующую сопряжённую задачу. Необходимое условие оптимальности получено в форме вариационного неравенства. Кроме того, сильная выпуклость функционала стоимости гарантирует единственность оптимального управления и означает, что условие оптимальности является также и достаточным.