Суб-Риманова задача на трехмерной разрешимой группе Ли

Аннотация

В этой работе мы рассматриваем суб-Риманову задачу на трехмерной разрешимой группе Ли. Она основана на построении Гамильтоновой структуры для геодезических потоков метрики Карно-Каратеодори и на принципе максимума Понтрягина. Подобные задачи, которые еще называют задачами неголономной геометрии, были хорошо изучены на группе Гейзенберга [6]. В основе суб-Римановых задач лежит Принцип Максимума Понтрягина, применение которого к геометрическим задачам подробно описано в работе Аграчева А.А.,Сачкова Ю.Л.[1]. В последнее время подробно изучены суб-Римановы структуры на компактной группе SU(2) [4], на полупростых группах SO(3) и SL(2) [3], где системы уравнений для геодезических интегрируются в элементарных функциях и приведен анализ полученных уравнений, изучены cut locus. В нашем случае разрешимая группа Sol3 некомпактна и неполупроста. Так как наша Гамильтонова система интегрируется в специальных эллиптических функциях, их исследования и анализ будут приведены в последующих работах.