ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ГРАФЕ С МАЛЫМИ РЕБРАМИ
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS202512846Ключевые слова:
граф, дифференциальный оператор, резольвента, граничные условия, ряд ТейлораАннотация
Данная работа посвящена исследованию эллиптического самосопряжённого оператора
второго порядка на метрическом графе с малыми рёбрами. Исходная структура строится путём масштабирования данного графа с коэффициентом ε-1 и присоединения его к другому фиксированному графу, где ε > 0 - малый параметр. Существенных ограничений
на пару графов не накладывается. На этой комбинированной структуре определяется общий
эллиптический самосопряжённый оператор второго порядка, дифференциальное выражение которого включает производные произвольного порядка с переменными коэффициентами и непостоянным потенциалом. Условия в вершинах также задаются в общей форме. Все коэффициенты - как в дифференциальном выражении, так и в условиях в вершинах - допускается зависимыми от малого параметра ε аналитическим образом. Ранее было
установлено, что компоненты резольвенты, соответствующие ограничениям оператора
на рёбра фиксированной длины и на короткие рёбра, аналитичны по ε как операторы в соответствующих функциональных пространствах, при этом ограничение на коротких рёбрах дополнительно сопрягается с операторами дилатации. Под аналитичностью здесь
понимается представимость этих семейств операторов в виде рядов Тейлора. Первым основным результатом работы является рекурсивная процедура, напоминающая метод согласованных асимптотических разложений, для нахождения всех коэффициентов таких
рядов Тейлора. Второй главный результат даёт сходящийся разложение резольвенты в виде
ряда тейлоровского типа вместе с эффективными оценками остаточных членов.
