Спектральная теорема в форме М.В. Келдыша для произвольного линейного оператора в конечномерном пространстве

Аннотация

Одной из главных проблем спектральной теории линейных операторов является вопрос о спектральном разложении операторов. Из курса "Функциональный анализ" нам известно, что самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве допускает единственное спектральное разложение.
В 1971 году М.В. Келдыш в своей работе определил коэффициенты главной части разложений Лорана для резольвенты вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве (при этом про сходимость ряда ничего не сказано). Данные коэффициенты он определил методом решения систем дифференциальных уравнений.
П. Ланкастер в своей монографии 
сформулировал теорию спектрального разложения для квадратичных матриц, но определил коэффициенты разложения только для специальных (симметричных) матриц.
Данная работа посвящена вопросу спектрального разложения произвольного линейного оператора в конечномерном пространстве. Целью работы является определить коэффициенты разложения Лорана для произвольного линейного оператора в конечномерном пространстве через базисные элементы данного и сопряженного ему оператора.
В ходе исследования были доказаны некоторые свойства компонентов линейного оператора, а также была доказана спектральная теорема в форме М.В. Келдыша для произвольного линейного оператора в конечномерном пространстве. Все коэффициенты разложения совпадали с найденными коэффициентами главной части разложения Лорана для резольвенты вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве, вычисленных в работе М.В. Келдыша,
но в этой работе они вычислены уже функциональным методом. Доказанная теорема имеет огромную значимость в исследовании спектральных свойств возмущенных линейных операторов в конечномерном пространстве.