(untitled) (Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика, 2025)
Исследования корректных и некорректных задач математической физики, включая обратные задачи и их практические применения, представляют значительный интерес, где ключевым моментом выступает корректная постановка прямой задачи. Гиперболические и эллиптические уравнения широко используются в биомедицинском моделировании, в том числе для описания роста опухолевых образований и деформаций биологических тканей. Аналогии междуколебаниями мембран и динамикой поведения тканей широко применяются в биомеханике и математической медицине. Так колебания упругих мембран в пространстве описываются уравнениями в частных производных. При задании прогиба мембраны функцией u(x,t), x ∈ Rm, m ≥ 2, применение принципа Гамильтона приводит к многомерному волновому уравнению, а в случае равновесного состояния- к уравнению Лапласа. Следовательно, динамика упругих мембран может быть описана многомерным уравнением Лаврентьева-Бицадзе. Рассматриваемые в статье задачи являются некорректными. Доказательство неоднозначности решения и построение явного решения фактически представляет собой регуляризацию некорректной задачи с помощью спектрального метода, интегральных представлений и т.д. В статье доказана неоднозначность решения и представлен явный вид классического решения смешанной задачи для многомерного уравнения Лаврентьева-Бицадзе.