Об операторе Риччи унимодулярных разрешимых метрических алгебр Ли. On the Ricci operator of unimodular solvable metric Lie algebras.

Authors

  • Н. А. Абиев Таразский государственный университет им. М.Х. Дулати, Республика Казахстан, г. Тараз

Keywords:

оператор Риччи, унимодулярные разрешимые алгебры Ли, двухступенно нильпотентные алгебры Ли, метрические алгебры Ли, the Ricci operator, unimodular solvable Lie algebras, two-step nilpotent Lie algebras, metric Lie algebras.

Abstract

Определение возможных значений сигнатуры оператора Риччи инвариантных римановых метрик на заданном однородном пространстве является одной из важных задач в теории однородных римановых многообразий. Разными исследователями в данной области получен ряд результатов, наиболее интересные из которых относятся к лево-инвариантным римановым метрикам на группах Ли. В этом случае удобно отождествлять лево-инвариантные векторные поля на заданной группе Ли с элементами алгебры Ли этой группы. Такой подход позволяет переформулировать поставленную задачу и получить ее решение в терминах метрических алгебр Ли. В настоящей статье доказывается, что оператор Риччи унимодулярной разрешимой метрической алгебры Ли размерности 7, имеющей двухступенно нильпотентную производную алгебру Ли L3 ⊕ 3L1, имеет по крайней мере два отрицательных собственных значения. Finding the possible values of the signature of the Ricci operator of invariant Riemannian metrics on a given homogeneous space is one of important problems of homogeneous Riemannian manifolds. Dierent researchers in this area obtained a number of results the most interesting of which are connected with left-invariant Riemannian metrics on Lie groups. In this case it is convenient to identify left-invariant vector elds on a given Lie group with elements of the Lie algebra of this group. This approach makes it possible to reformulate the problem and obtain its solution in terms of metric Lie algebras. In this paper we prove that the Ricci operator of a 7-dimensional unimodular solvable metric Lie algebras with two-step nilpotent derived Lie algebras L3⊕3L1 has at least two negative eigenvalues.

References

[1] Абиев Н. А. О кривизне Риччи разрешимых метрических алгебр Ли с двухступенно нильпотентными производными алгебрами // Мат.труды. 2013. Т. 16, С. 317.

[2] Алексеевский Д. В. Однородные римановы пространства отрицательной кривизны // Мат. сборник.1975. Т. 96.С. 93117.

[3] Бессе А. Л. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990.

[4] Кремлев А. Г., Никоноров Ю. Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Унимодулярный случай // Мат. труды. 2008. Т. 11, С. 155147.

[5] Кремлев А. Г., Никоноров Ю. Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Неунимодулярный случай // Мат. труды. 2009. Т. 12, С. 40116.

[6] Морозов В. В. Классификация нильпотентных алгебр Ли шестого порядка // Известия высш. учеб. завед. Сер.матем. 1958. 4(5). С. 161171.

[7] Никитенко Е. В., Никоноров Ю. Г. Шестимерные эйнштейновы солвмногообразия // Мат. труды. 2005. Т. 8, С. 71-121.

[8] Никоноров Ю. Г., Чебарыков М.С. Оператор Риччи вполне разрешимых метрических алгебр Ли // Мат.труды.2012. Т. 15, С. 146158.

[9] Чебарыков М. С. О кривизне Риччи неунимодулярных разрешимых метрических алгебр Ли малой размерности // Мат. труды. 2010. Т.13, С. 186211.

[10] Console S., Fino A., Samiou E. The moduli space of 6-dimensional 2-step nilpotent Lie algebras // Annals of global Analysis and Geometry. 27. 2005. P. 1732.

[11] Eberlein P. Geometry of 2-step nilpotent Lie groups // Modern Dynamical Systems and Applications, Cambridge Univ. Press. Cambridge, 2004. P. 67101.

[12] De Graaf W. A. Classication of 6dimensional nilpotent Lie algebras over eld of characteristic not 2 // Journal of Algebra. 309. 2007. P. 640653.

[13] Milnor J. Curvatures of left invariant metrics on Lie groups // Adv. Math. 1976. V. 21, P.293329.

[14] Nikonorov Yu. G. Negative eigenvalues of the Ricci operator of solvable metric Lie algebras // Geometriae Dedicata. 2014. V. 170, P. 119-133.

[15] Patera J., Sharp R. T., Winternitz P., Zassenhaus H. Invariants of real low dimension Lie algebras // Journal of Mathematical Physics. 1976. V. 17, P. 986994.

[16] Will C. Rank-one Einstein solvmanifolds of dimension 7 // Dierential Geometry and its Applications. 19. 2003. P. 307-318.

Downloads

Issue

Section

Mechanics, Mathematics, Computer Science