Аналог формулы Грина и самосопряженные операторы в проколотых областях. An analogue of Green's formulae and self-adjoint operators in punctured domains.

Authors

  • Б. Е. Кангужин Казахский Национальный Университет имени аль-Фараби
  • Г. М. Нальжупбаева Казахский Национальный Университет имени аль-Фараби

Keywords:

полигармоническое уравнение, проколотая область, формула Грина, самосопряженное расширение, polyharmonic equation, punctured domain, Green's formulae, self-adjoint extension.

Abstract

Объектом исследования данной статьи является полигармонический оператор. Полигармонический оператор это есть обобщение бигармонического оператора. В двухмерном случае бигармонический оператор, в свою очередь, является математической моделью тонких упругих плоских пластин. В этой работе для оператора,порожденного полигармоническим уравнением и граничными условиями Дирихле, в проколотой области Ω0:= Ω\ {M0}, где Ω односвязная область с достаточно гладкой границей ∂Ω в R2, а M0 =x0 =(x01, x02) внутренняя фиксированная точка области , получен аналог формулы Грина и описан класс самосопряженных задач. Для этого введено специальное функциональное пространство Dm. Функциональное пространство Dm определено со специальным функционалом α(·), который впервые был введен в 2011 году в работе Кангужина Балтабека Есматовича и Аниярова Альмира Аскаровича для оператора Лапласа. Еще одним приложением являются полигармонические операторы с сингулярными потенциалами. Свойства и приложения оператора Лапласа с сингулярными потенциалами исследованы во многих работах. И эта статья является продолжением серий работ в данном направлений. The object of study of this article is polyharmonic operator. Polyharmonic operator is a generalization biharmonic operator. It is some models of thin at elastic plates with point interactions. In two dimention, it is the biharmonic equation satised, to a good approximation, by a small transverse deection of a thin at elastic plate. In this work for an operator generated by a polyharmonic equation and Dirichlet boundary conditions in the punctured domain Ω0 := Ω\ {M0}, whereΩ - a simply connected domain with suciently smooth boundary Ω∂ in R2 and M0 = x0 =(x01,x02) - internal xed point of the region Omega, we obtain an analogue of Green's formula and described class of self-adjoint problems. For this we introduce a special function space Dm. Function space Dm is dened with a special functional α(·), which was first introduced in 2011 year in Kanguzhin Baltabek Esmatovich and Aniyarov Almir Askarovich for the Laplace operator. Another application is a polyharmonic operators with singular potentials. properties and application of the Laplace operator with singular potentials investigated in many studies. And this article is a continuation of series of works in this direction.

References

[1] Березин, Ф.А. Замечания об уравнении Шрјдингера с сингулярным потенциалом / Ф.А. Березин, Л.Д. Фаддеев // ДАН СССР. -1961. -Т. 137. -С. 1011-1014.

[2] Albeverio, S. Some exactly solvable models in quantum mechanics: monograph / S. Albeverio, F. Gestezy, R. Hoegh-Krohn, H. Holden. - Verlag: Springer, 1988. -P. 417.

[3] Павлов, Б.С. Теория расширений и явнорешаемые модели / Б.С. Павлов // Успехи мат. наук. -1987. -Т. 42. -Вып.6. -С. 99131.

[4] Кангужин, Б.Е. Корректные задачи для оператора Лапласа в проколотой области / Б.Е. Кангужин, А.А. Анияров // Мат. заметки. - 2011. -Т. 89. -Вып. 6. -С. 856867.

[5] Берикханова, Г.Е. Резольвенты конечномерных возмущенных корректных задач для бигармонического оператора/ Г.Е. Берикханова, Б.Е. Кангужин // Уфимский математический журнал. - 2010. - Т. 2. С. 1734.

[6] Кангужин, Б.Е. О свойствах одной задачи ШтурмаЛиувилля с сингулярным потенциалом / Б.Е. Кангужин, Г.М. Нальжупбаева // Вестник КазНУ. Серия мат., инф., мех. - 2014. - Т. 78. - С. 2332.

[7] Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы: монография. - М.: Наука, - 1969. - 528 c.


[1] Berezin, F.A. SZamechaniya ob uravnenii Shrodingera s singulyarnym potentsialom / F.A. Berezin, L.D. Faddeyev //DAN SSSR. -1961. - T. 137. - S. 1011 1014.

[2] Albeverio, S. Some exactly solvable models in quantum mechanics: monograph / S. Albeverio, F. Gestezy, R. Hoegh-Krohn, H. Holden. - Verlag: Springer, 1988. -P. 417.

[3] Pavlov, B.S. The theory of extensions and explicitly solvable models / B.S. Pavlov // Usp. Sciences. -1987. -T. 42. , Vyp.6. -S. 99 - 131.

[4] Kanguzhin, B.E. Korrektnyye zadachi dlya operatora Laplasa v prokolotoy oblasti / B.E. Kanguzhin, A.A. Aniyarov // Mat. zametki. - 2011. -T. 89. -Vyp. 6. -S. 856867.

[5] Berikkhanova, G.E. MRezol'venty konechnomernykh vozmushchennykh korrektnykh zadach dlya bigarmonicheskogo operatora / G.E. Berikkhanova, B.E. Kanguzhin // Umskiy matematicheskiy zhurnal. -2010. -T. 2. -Vyp. 1. -S. 17-34.

[6] Kanguzhin , B.E. O svoystvakh odnoy zadachi Shturma - Liuvillya s singulyarnym potentsialom / B.E. Kanguzhin , G.M. Nalzhupbayeva // Vestnik KazNU. Seriya mat., inf., mekh. - 2014 - T. 78. - S. 2332.

[7] Naimark, M.A. Lineynyye dierentsial'nyye operatory: monograph. - M.: Nauka, 1969. - P. 528.

Downloads

Issue

Section

Mechanics, Mathematics, Computer Science