Аналог формулы Грина и самосопряженные операторы в проколотых областях. An analogue of Green's formulae and self-adjoint operators in punctured domains.

Abstract

Объектом исследования данной статьи является полигармонический оператор. Полигармонический оператор это есть обобщение бигармонического оператора. В двухмерном случае бигармонический оператор, в свою очередь, является математической моделью тонких упругих плоских пластин. В этой работе для оператора,порожденного полигармоническим уравнением и граничными условиями Дирихле, в проколотой области Ω0:= Ω\ {M0}, где Ω односвязная область с достаточно гладкой границей ∂Ω в R2, а M0 =x0 =(x01, x02) внутренняя фиксированная точка области , получен аналог формулы Грина и описан класс самосопряженных задач. Для этого введено специальное функциональное пространство Dm. Функциональное пространство Dm определено со специальным функционалом α(·), который впервые был введен в 2011 году в работе Кангужина Балтабека Есматовича и Аниярова Альмира Аскаровича для оператора Лапласа. Еще одним приложением являются полигармонические операторы с сингулярными потенциалами. Свойства и приложения оператора Лапласа с сингулярными потенциалами исследованы во многих работах. И эта статья является продолжением серий работ в данном направлений. The object of study of this article is polyharmonic operator. Polyharmonic operator is a generalization biharmonic operator. It is some models of thin at elastic plates with point interactions. In two dimention, it is the biharmonic equation satised, to a good approximation, by a small transverse deection of a thin at elastic plate. In this work for an operator generated by a polyharmonic equation and Dirichlet boundary conditions in the punctured domain Ω0 := Ω\ {M0}, whereΩ - a simply connected domain with suciently smooth boundary Ω∂ in R2 and M0 = x0 =(x01,x02) - internal xed point of the region Omega, we obtain an analogue of Green's formula and described class of self-adjoint problems. For this we introduce a special function space Dm. Function space Dm is dened with a special functional α(·), which was first introduced in 2011 year in Kanguzhin Baltabek Esmatovich and Aniyarov Almir Askarovich for the Laplace operator. Another application is a polyharmonic operators with singular potentials. properties and application of the Laplace operator with singular potentials investigated in many studies. And this article is a continuation of series of works in this direction.