РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЙ СЛЕД ОПЕРАТОРА ДВУХ КРАТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ СОГЛАСОВАНИЯ НА ГРАФ-ЗВЕЗДЕ С ДУГАМИ ОДИНАКОВОЙ ДЛИНЫ

Аннотация

В данной работе исследуется регуляризованный след оператора двукратного дифференцирования с нелокальными условиями согласования на графе-звезде, состоящем из дуг одинаковой длины. Рассматриваются как интегрируемый случай, когда потенциалы принадлежат пространству L_{1}, так и сингулярный случай, при котором потенциалы допускают более общие особенности, включая распределения. Основное внимание уделяется выводу асимптотического разложения характеристической функции, соответствующей краевой задаче на графе, и вычислению регуляризованных следов с использованием методов спектральной теории. Основной целью является вычисление первого регуляризованного следа оператора, который определяется как предел суммы разностей собственных значений оператора и его модификации. Показано, что в интегрируемом случае регуляризованный след является линейным функционалом от коэффициентов потенциала, тогда как в сингулярном случае (когда потенциалы представлены в виде обобщённых функций) он приобретает нелинейную зависимость. Выведены явные формулы для регуляризованного следа, использующие характеристические определители и методы интегрального представления. Результаты данной работы обобщают известные формулы регуляризованных следов, применяемые к операторам на отрезке, на случай более сложных структур, таких как графы. Работа представляет интерес для специалистов в области спектральной теории операторов и дифференциальных уравнений на графах.