РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЙ СЛЕД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ДЕРЕВЕ С УСЛОВИЯМИ ДИРИХЛЕ
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS131320268Ключевые слова:
регуляризованный след, дифференциальный оператор второго порядка, условия Дирихле, условия Неймана, условия согласования, характеристический определитель, собственные значенияАннотация
В данной работе рассматривается задача вычисления регуляризованного следа дифференциального оператора второго порядка на дереве с условиями Дирихле в граничных вершинах и условиями согласования во внутренних вершинах. Исходный граф представляет собой дерево с семью вершинами и шестью ориентированными дугами. Актуальность исследования обусловлена необходимостью дальнейшего развития методов спектральной теории дифференциальных операторов на графах и обобщения известных результатов, полученных для операторов на конечном отрезке. Для решения поставленной задачи используется разбиение исходного дерева на два подграфа, каждый из которых представляет собой звёздный граф. Такой подход позволяет применять известные методы спектрального анализа к отдельным частям исходного графа. Особое внимание уделяется построению характеристических определителей задач Дирихле и Неймана на рассматриваемых подграфах, а также исследованию их асимптотического поведения. Полученные представления используются для установления асимптотических формул для собственных значений исходной задачи. С помощью теоремы о вычетах, метода интегрирования по контуру и методов комплексного анализа получена итоговая формула для регуляризованного следа оператора Штурма–Лиувилля на рассматриваемом дереве. Полученный результат обобщает известные результаты для дифференциальных операторов на конечном отрезке на случай графов-деревьев. Проведённое исследование расширяет существующие подходы к изучению спектральных характеристик операторов на графах и создаёт основу для дальнейшего исследования регуляризованных следов на более сложных графах и других типах дифференциальных операторов.
