Свертки, порождаемые задачей Дирихле оператора Штурма-Лиувилля

Аннотация

Настоящая работа посвящена аппроксимаций произведения двух непрерывных на конечном отрезке функций некоторыми специальными свертками. Точность приближения зависит от длины отрезка на котором задаются функций. Эти свертки порождаются краевыми задачами Штурма-Лиувилля. В работе указывается, что каждая краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка порождает свою индивидуальную свертку и свое индивидуальное преобразование Фурье. Причем преобразование Фурье от свертки равно произведению преобразований Фурье. Последнее свойство позволяет приближенно решать нелинейные уравнения типа Бюргерса, предварительно заменив нелинейной член сверткой двух функций. Подобные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными можно найти в работах А. Ю. Колесова, Н. Х. Розова, В. А. Садовничего. В работе строится конкретная свертка, порожденная краевой задачей Дирихле для двухкратного дифференцирования. Выведены свойства построенной свертки и связь их с соответствующим преобразованием Фурье. В заключительной части работы доказана сходимость свертки (g(x) sin(x)) ∗ (f(x) sin(x)) определенной на отрезки C[0, b] к произведению g(x)f(x) при b стремящемся к нулю для любых двух непрерывных функций f(x) и g(x).