О положительных решениях задачи Лиувилля-Гельфанда

Аннотация

В современной науке наблюдается большой интерес к процессам, происходящим в нелинейных средах. Математическими моделями таких процессов зачастую являются краевые задачи для нелинейных эллиптических уравнений. Перспективными направлениями для решения таких задач есть построение двусторонних приближений к искомой функции.
Целью данной работы является рассмотрение вопросов существования и единственности регулярного положительного решения у задачи Лиувилля-Гельфанда, а также обоснование возможности построения двусторонних приближений к решению. Двусторонние приближения монотонно сверху и снизу аппроксимируют искомое решение, и поэтому обладают тем важным преимуществом по сравнению с другими приближенными методами, что они дают возможность получить удобную апостериорную оценку погрешности вычислений.
Исследование задачи Лиувилля-Гельфанда проводится методами теории операторных уравнений в полуупорядоченных пространствах. Математической моделью рассматриваемой задачи является задача Дирихле для нелинейного эллиптического уравнения с положительным параметром. Установленные свойства соответствующего нелинейного операторного уравнения дали возможность получить условие для входящего в постановку задачи параметра, которое гарантирует существование и единственность регулярного положительного решения, а также возможность построения двусторонних приближений независимо от геометрии области, в которой рассматривается задача. Соответствующее задачи Лиувилля-Гельфанда операторное уравнение содержит функцию Грина оператора Лапласа первой краевой задачи, а поэтому и условие, которому удовлетворяет параметр, также ее содержит. Так как функция Грина известна для небольшого числа достаточно простых областей, для решения задачи в областях сложной геометрии в работе применяется метод квазифункций Грина. Заметим, что квазифункцию Грина можно построить практически для области любой геометрии.
Использованный в работе подход позволил: а) получить формулу, которой должен удовлетворять входящий в постановку задачи параметр, независимо от геометрии области; б) впервые для задачи Лиувилля-Гельфанда построить двусторонние приближения к решению; в) впервые получить априорную оценку решения в зависимости от выбранного значения параметра, который входит в постановку задачи.
Предложенный метод решения имеет преимущества в сравнении с другими приближенными методами относительной простотой реализации алгоритма. Предлагаемый метод может быть использован при решении прикладных задач, математическими моделями которых являются краевые задачи для нелинейных эллиптических уравнений. В ситуациях, когда функция Грина неизвестна или имеет сложный вид, предложено применение метода квазифункций Грина.