Несобственные интегралы в теории глобальной асимптотической устойчивости многомерных фазовых систем

Аннотация

Рассматривается класс обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих
динамику многомерных фазовых систем со счетным положением равновесия с
периодическими нелинейными функциями из заданного множества. Такая неопределенность
правой части дифференциального уравнения порождает неединственность решения, что
приводит к исследованию свойств решений уравнений с дифференциальными включениями.
Предлагается совершенно новый подход к исследованию свойств решения динамических
систем со счетным положением равновесия при неполной информации о нелинейностях.
Путем неособого преобразования исходная система приводится к специальному виду,
состоящему из двух частей. Первая часть дифференциальных уравнений разрешима
относительно компонентов периодической функции, а вторая часть не содержит
нелинейные функции. Исследованы свойства решений, получены оценки на решения
исходной системы и преобразованной системы, доказана их ограниченность. Получены
тождества относительно компонентов нелинейной функции и установлена их связь с
фазовыми переменными. Исследованы свойства квадратичных форм относительно фазовых
переменных и производных. Получены оценки несобственных интегралов вдоль решения
системы для двух случаев: когда значения интегралов от компонентов нелинейной функции
в периоде равны нулю; когда значения интегралов в периоде отличные от нуля. Эти
результаты могут быть использованы для получения условий глобальной асимптотической
устойчивости многомерных фазовых систем.