Функция Грина задачи Дирихле для дифференциального оператора на графе-звезде
DOI:
https://doi.org/10.26577/jmmcs-2018-1-486Ключевые слова:
ориентированный граф, вершины графа, условия Кирхгофа, колебания упругих сетей, функция Грина задачи Дирихле, разложение по собственным функциямАннотация
В данной работе исследуется система дифференциальных уравнений второго порядка,
являющейся моделью колебательных систем со стержневой конструкцией. Задачи для
дифференциальных операторов на графах в настоящее время активно изучаются
математиками и имеют приложения в квантовой механике, органической химии,
нанотехнологиях, теории волноводов и других областях естествознания. В данной
статье выведена функция Грина задачи Дирихле для дифференциального оператора на
звездообразном графе. Значительную трудность представляет построение функции Грина
на геометрических графах при значениях независимых переменных близких к вершинам
графа. Нами использованы стандартные условия склейки во внутренних вершинах и
краевые условия Дирихле в граничных вершинах. Предлагается конструктивная схема
построения функции Грина краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля. Доказывается
существование разложения произвольной функции, заданного на графе, по собственным
функциям. Вопросы из спектральной теории, как построение функции Грина и разложение
по собственным функциям для моделей из соединенных стержней пока еще мало изучены.
Спектральный анализ дифференциальных операторов на геометрических графах является
основным математическим аппаратом при решении современных проблем квантовой
механики.
