О классе потенциалов с тривиальной монодромией

Аннотация

Рассматривается задача описания класса TM(Ω;A) потенциалов, мероморфных в
односвязной области Ω, с множеством полюсов A, удовлетворяющих условию тривиальной
монодромии: любое решение соответствующего уравнения Штурма–Лиувилля при всех
значениях спектрального параметра не имеет точек ветвления ни в одной точке A. Показано,
что в случае конечного A линейное (относительно обычного сложения) пространство
TM(Ω;A) имеет конечную размерность по модулю подпространства TM0(Ω;A) функций,
голоморфных в Ω и имеющих в точках нули заданной кратности (своей для каждой точки).
Тем самым при конечном A получено полное описание TM(Ω; A;M) в терминах любого
конечного набора функций – решений интерполяционной задачи с кратными узлами в точках
множества A. Полученный результат обобщает известные результаты о классах потенциалов
с тривиальной монодромией на всей плоскости, убывающих на бесконечности (J.J. Duistermaat,
F.A. Gr¨unbaum) или растущих не быстрее второй (А.А. Обломков) либо шестой (J.
Gibbons, A.P. Veselov) степени. В случае, когда множество A счетно и имеет единственную
предельную точку, построен достаточно широкий класс функций, удовлетворяющих условию
тривиальной монодромии.