Построение характеристического определителя одного типа задач на собственные значения при интегральном возмущении двух краевых условий

Аннотация

Хорошо известно, что система собственных функций оператора, заданного формально
самосопряженным дифференциальным выражением, с произвольными самосопряженными
краевыми условиями, обеспечивающими дискретный спектр, образует ортонормированный
базис. Во многих работах исследовался вопрос о сохранении свойств базисности при
некотором (слабом в определенном смысле)возмущении исходного оператора. Для случая
произвольного обыкновенного дифференциального оператора, когда невозмущенные краевые
условия являются усиленно регулярными, вопрос об устойчивости свойства базисности
корневых векторов при их интегральном возмущении положительно решен в работах
А.А. Шкаликова. В серии наших предыдущих работ рассматривался вопрос о построении
характеристического определителя и об устойчивости свойства базисности корневых
векторов при интегральном возмущении одного из краевых условий. Были рассмотрены
практически все возможные типы краевых условий, которые являются регулярными,
но не усиленно регулярными. В настоящей работе рассматривается спектральная
задача для оператора кратного дифференцирования при интегральном возмущении
краевых условий одного типа, являющихся регулярными, но не усиленно регулярными.
В отличие от предыдущих работ нами рассматривается случай, когда интегральное
возмущение присутствует в обоих краевых условиях. Первым основным результатом работы
является построение характеристического определителя спектральной задачи. На основании
полученной формулы делаются выводы об асимптотике собственных значений и собственных
функций задачи. Вторым основным результатом работы является обоснование базисности
Рисса системы корневых функций рассматриваемой задачи при интегральном возмущении
двух краевых условий.