Свертка в анизотропных пространствах Бесова

Аннотация

В работе исследуется ограниченность оператора свертки в анизотропных пространствах Никольского-Бесова $B_{\bf p\boldsymbol\tau}^{\boldsymbol\alpha\bf q}$. Данные пространства построены на основе анизотропных пространств Лоренца $L_{\bf p\boldsymbol\tau}$, где $\bf p$ и $\boldsymbol\tau$ векторные параметры. Исследованы свойства анизотропных пространств Никольского-Бесова. Целью работы является решение следующей задачи: пусть $f$ и $g$ функции из некоторых классов шкалы пространств Никольского-Бесова. Нужно определить, какому пространству принадлежит их свертка $f*g$. Доказано неравенство разных метрик Никольского для тригонометрических полиномов со спектром в двоичных пачках в анизотропных пространствах Лоренца $L_{\bf p\boldsymbol\tau}$. Получены условия в терминах соответсвующих векторных параметров $\boldsymbol\alpha$, $\bf p$, $\bf q$, $\boldsymbol\tau$, $\bf r$, $\boldsymbol\mu$, $\boldsymbol\beta$, $\boldsymbol\eta$, $\bf h$, $\boldsymbol\nu$, $\boldsymbol\gamma$, $\boldsymbol\xi$, являющихся необходимыми и достаточными условиями для вложений \begin{equation*}
B_{\bf r\boldsymbol\mu}^{\boldsymbol{\beta\eta}}*B_{\bf h\boldsymbol\nu}^{\boldsymbol{\gamma\xi}}\hookrightarrow B_{\bf p\boldsymbol\tau}^{\boldsymbol\alpha\bf q}.
\end{equation*}
Данное утверждение является аналогом неравенства О'Нейла для пространств Лоренца.
В частности, из доказанных результатов следует классическое неравенство О'Нейла. Полученный критерий обобщают результаты Буренкова и Батырова, которые рассмотрели данную задачу в пространствах Бесова со скалярными параметрами.