Некоммутативный максимальный оператор Харди-Литтлвуда в некоммутативных пространствах Лоренца

Аннотация

В данной работе мы исследуем некоммутативный максимальный оператор Харди-Литтлвуда в симметричных пространствах $\tau$-измеримых операторов. Некоммутативные максимальные неравенства были рассмотрены, в частности, в \cite{MJ1, JQ, TM}. Другая версия некоммутативного максимального оператора Харди-Литтлвуда представлена Т. Бекжаном \cite{TB}. Позже Дж. Шао  занимался исследованиями максимального оператора Харди-Литтлвуда в некоммутативных пространствах Лоренца ассоциацированной с ограниченной безатомной алгеброй фон Неймана \cite{Sh}. А именно, для оператора $T,$ аффилированного с полуограниченной алгеброй фон Неймана $M,$ максимальный оператор

Харди-Литтлвуда определяется как

$$MA(x)=\sup\limits_{r>0}\frac{1}{\tau\left(E_{[x-r, x+r]}\left(|A|\right)\right)}\tau\left(|A|E_{[x-r, x+r]}\left(|A|\right)\right),

\,\,x\geq0.$$

В то время как классический максимальный оператор Харди-Литтлвуда измеримых по Лебегу функций $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},$ обозначаемый через $Mf(x),$ определяется как $$Mf(x)=\sup\limits_{r>0}\frac{1}{m([x-r, x+r])}\int\limits_{[x-r,x+r]}|f(t)|dt$$

где $m$--мера Лебега \cite{SW}. С точки зрения спектральной теории, $|A|$ представим в виде $$|A|=\int_{\sigma(|A|)}tdE_{t},$$ а $MA(|A|)$ представим в виде $MA(x).$ Таким образом, для оператора $A,$ рассуждение Т. Бекжана говорит о том, что $MA(|A|)$ определяется как аналог максимального оператора Харди-Литтлвуда в классическом случае \cite{TB}. Нашей целью является исследовать некоммутативный максимальный оператор $M$ в смысле Т. Бекжана. В частности, мы получим ограниченность некоммутативного максимального оператора Харди-Литтлвуда в некоммутативных пространствах Лоренца.