Асимптотические оценки решений краевой задачи для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений

Аннотация

Математическими моделями многих процессов в физике, астрофизике, химии, биологии, механики и технике часто служат дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения, содержащие малые параметры при старших производных. Такие уравнения в настоящее время принято называть сингулярно возмущенными. В статье рассматривается двухточечная краевая задача для линейного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка с малым параметром при двух старших производных при условии, когда корни «дополнительного характеристического уравнения» отрицательны и краевые условия содержат члены с малыми возмущениями. Целью исследования является получение асимптотических оценок решения и выяснение асимптотического поведения решений в окрестности точек, в которых заданы дополнительные условия, теряющиеся при вырождении. В работе построены граничные функции краевой задачи для сингулярно возмущенного однородного дифференциального уравнения, получены их асимптотические оценки. С помощью граничных функции и функций Коши получена аналитическая формула решений краевой задачи. Доказана теорема об асимптотической оценке решения рассматриваемой краевой задачи. Установлены асимптотическое по малому параметру поведение решения и порядок роста его производных. Показано, что решение рассматриваемой краевой задачи на левом конце данного отрезка обладает явлением начального скачка первого порядка. Показаны отличительные особенности в асимптотических свойствах решений данной краевой задачи по сравнению с аналогичными работами в области сингулярно возмущенных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, обладающих начальными скачками. Полученные результаты позволяют построить равномерное асимптотическое разложение решений краевых задач для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений с любой степенью точности по малому параметру.