Построение итерационного метода решения нелинейного уравнения эллиптического типа на основе смешанного метода конечных элементов

Аннотация

Данная статья посвящена построению и исследованию конечно-элементного
метода решения двумерного нелинейного уравнения эллиптического типа.
Уравнения данного типа возникают при решении многих прикладных задач,
включая задачи теории многофазной фильтрации, теории полупроводниковых
приборов и многих других. Актуальность исследования данной проблемы
связана с необходимостью разработки эффективных параллельных методов
решения указанной задачи. Для дискретизации уравнения используется смешанный
метод конечных элементов с элементами Brezzi-Douglas-Marini. Исследован
вопрос о сходимости конечно-элементного метода. Для линеаризации уравнения
построен итерационный метод Пикара. В работе использовано два класса
базисных функций конечных элементов. Проведен сравнительный анализ
эффективности нескольких прямых и итерационных методов решения полученной
системы линейных алгебраических уравнений, включая метод, основанный
на LDLt-факторизации Bunch-Kaufman, метод минимальных невязок, симметричный
LQ-метод, стабилизированный метод бисопряженных градиентов, и ряд
других итерационных алгоритмов подпространства Крылова с предобуславливателями
на основе неполного LU-разложения. Метод апробирован на нескольких
модельных задачах посредством сравнения приближенного решения задачи с известным
точным решением. Представлены результаты анализа погрешности метода
в различных нормах в зависимости от диаметра сетки.