О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА. Бiр сингуляр интегралдық теңдеудiң Бесов кеңiстiгiндегi шешiмi.

Аннотация

Впервые существование и единственность решения, нетеровая разрешимость рассмотриваемого сингулярного интегрального уравнения в Lp(E); p > 2 получены В.С. Виноградовым в работе "О разрешимости одного сингулярного интегрального уравнения".Эти результаты продолжены И.И. Комяком в Lp(E); p > 1; для случая более общего уравнения в работе "О разрешимости одного класса двумерных сингулярных интегральных уравнений". А в данной статье изучена разрешимость одного сингулярного интегрального уравнения в пространствах Бесова B а/p,1(E); 1 < p < 2; а= 2/p−1 не вложенные в Lq(E) ни при каком q > 2. Разрешимость рассмотриваемого сингулярного интегрального уравнения эквивалентно непрерывной разрешимости дифференциального уравнения Бельтрами ∂w/∂z-µ(z)∂w/∂z =0. Доказана нетеровая разрешимость сингулярного интегрального уравнения, показано, что индекс равен нулю и ядро состоит только из нуля.В явном виде приведены операторы-регуляризаторы для рассмотриваемого уравнения. Эти результаты дают существование непрерывного гомеоморфизма уравнения Бельтрами. Алғашқы рет Lp(E), p > 2 кеңiстiгiнде қарастырылып жатқан сингуляр интегралдық теңдеудiң шешiмiнiң бар болуын және жалғыздығын В.С. Виноградов "Бiр сингуляр ин- тегралдық теңдеудiң шешiлуi туралы"атты жұмысында көрсеткен. Ал бұл нәтижелер Lp(E), p > 1 үшiн сингуляр интегралдық теңдеудiң жалпы түрiне И.И.Комяк "Бiр екiөл- шемдi сингуляр интегралдық теңдеулер класының шешiлуi туралы"атты жұмысында жалғастырған. Ал бұл мақалада бiр сингуляр интегралдық теңдеудiң ешқандай q > 2 кезiнде Lq(E)−ға енгiзiлмеген Бесов класындағы Bα p,1 (E), 1 < p < 2, α = 2 p − 1 шешiмi толығымен қарастырылады. Қарастырылып жатқан сингуляр интегралдық теңдеудiң шешiлiмi Бельтрами дифференциалдық теңдеуiнiң ∂w ∂z − µ(z) ∂w ∂z = 0 үзiлiссiз шешiлiмiне эквиваленттi. Оның нетерлiк шешiлiмi көрсетiлген. Индексiнiң нөлге тең екенi және ядросы тек қана нөлден тұратыны дәлелденген. Анық түрде оператор - регуляризатор- лар құрастырылған. Бұл нәтижелер Бельтрами теңдеуiнiң үзiлiссiз гомеоморфизмi бар екенiн көрсетедi.