Задача стабилизации для нагруженного уравнения теплопроводности: двумерный случай

Аннотация

Одним из важных свойств, характеризующих поведение решений краевых задач для дифференциальных уравнений, является стабилизация, имеющая прямое отношение к задачам управляемости. В статье исследуются вопросы разрешимости задач стабилизации двумерных нагруженных уравнений параболического типа с помощью управления с обратной связью, заданного на границе области. Эти уравнения имеют многочисленные приложения при исследовании обратных задач для дифференциальных уравнений. Задача состоит в выборе граничных условий (управлений) так, чтобы решение краевой задачи с определенной скоростью приближалось к заданному стационарному решению при t → ∞. Для этого требуется, чтобы управление было обратной связью, то есть чтобы оно реагировало на непредвиденные возмущения в системе, подавляя результаты их воздействия на стабилизированное решение. Также исследуются спектральные свойства нагруженного двумерного оператора Лапласа, которые используются для решения начальной задачи стабилизации. В статье представлен алгоритм решения задачи стабилизации, состоящий из конструктивно реализованных этапов. Идея сведения задачи стабилизации параболического уравнения с помощью граничных управлений к решению вспомогательной краевой задачи в расширенной области независимых переменных принадлежит А.В. Фурсикову. Кроме того, в последнее время так называемые нагруженные дифференциальные уравнения активно используются в задачах математического моделирования и управления нелокальными динамическими системами.