Решение двумерной граничной задачи теплопроводности в вырождающейся области

Аннотация

В работе рассматривается краевая задача теплопроводности вне конуса, то есть в области вырождающейся в точку в начальный момент времени. При этом граничное условие содержит производную по временной переменной. Особенность рассматриваемой задачи состоит именно в наличии подвижной границы и вырождения области решения в начальный момент времени в точку. К этому типу задач в общем случае не применимы известные классические методы. Методом тепловых потенциалов подобные краевые задачи теплопроводности редуцируются к решению сингулярных интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода. Под сингулярным уравнением типа Вольтерра подразумевается уравнение, ядро которого обладает следующим свойством: интеграл от ядра уравнения при стремлении верхнего предела к нижнему не стремится к нулю. Доказана теорема о разрешимости рассматриваемой краевой задачи в весовых пространствах существенно ограниченных функций. Исследованы вопросы разрешимости сингулярного интегрального уравнения Вольтерра второго рода, к которому редуцирована исходная задача. Найдено ненулевое решение этого сингулярного интегрального уравнения.