О представлении одного класса операторов Шмидта

Аннотация

В настоящей работе рассматриваются унитарные симметризаторы. Хорошо известно, что, используя операторный алгоритм Ньютона, аналогичный обычному алгоритму Ньютона для извлечения квадратного корня, можно доказать, что для каждого эрмитова оператора T ≥ 0 существует единственный эрмитов оператор S ≥ 0 такой, что T = S 2 . При этом S перестановочен с каждым ограниченным оператором R, с которым перестановочен T. Оператор S называется квадратным корнем оператора T и обозначается T 1/2 . Существование квадратного корня позволяет определить абсолютную величину |T| = (T ∗T) 1/2 ограниченного оператора T. Для каждого ограниченного линейного оператора T : H → H существует единственный частично изометрический оператор U : H → H такой, что T = U|T|, KerU = KerT. Такое равенство называется полярным разложением оператора T. Под оператором Шмидта понимается унитарный сомножитель полярного разложения вполне непрерывного обратимого оператора, с помощью которого Э. Шмид впервые получил разложение вполне непрерывного и несамосопряженного оператора и ввел так называемых s-чисел. В данной работе показано, что унитарный симметризатор оператора отличается, лишь знаком от сопряжения оператора Шмидта. Основной результат работы: если A – обратимый и компактный оператор, а S – унитарный оператор такие, что оператор SA самосопряжен, то оператор AS также самосопряжен и имеет место формула S = ±U ∗ , где U – оператор Шмидта.