О корневых функциях нелокального дифференциального оператора второго порядка с краевыми условиями периодического типа

Аннотация

В настоящей работе рассматривается один класс спектральных задач для нелокального обыкновенного дифференциального оператора (с инволюцией в главной части) с нелокальными краевыми условиями. периодического типа. Такие задачи возникают при решении методом разделения переменных задач для нелокального уравнения теплопроводности. Мы исследуем спектральные свойства задачи для нелокального обыкновенного дифференциального уравнения Ly (x) ≡ −y 00 (x) + εy00 (−x) = λy (x), −1 < x < 1. Здесь λ - спектральный параметр, |ε| < 1. Такие уравнения называются нелокальными, так как они содержат член y 00 (−x) с инволютиционным отклонением аргумента. Краевые условия являются нелокальными y 0 (−1) + ay0 (1) = 0, y (−1) − y (1) = 0. Ранее эта задача была исследована для частного случая a = −1. Нами рассматривается случай a 6= −1. Нами доказан критерий простоты собственных значений задачи: собственные значения будут простыми если и только если число r = sqrt{p (1 − ε) / (1 + ε)} является иррациональным. Мы показали, что если число r иррациональное, то собственные значения задачи - все простые, а система собственных функций задачи является полной и минимальной, но не образует безусловного базиса в L2(−1, 1). Для случая рациональных r доказано, что (специальным образом выбранная) система собственных и присоединенных функций образует безусловный базис в L2(−1, 1).