Коммутативтi емес Лоренц кеңiстiктерiндегi Харди-Литтлвуд коммутативтi емес максимал операторы

Аңдатпа

Бұл жұмыста біз коммутативті емес Харди-Литтлвуд максимал операторын $\tau$-өлшенетін операторлардың Лоренц кеңістіктерінде қарастырамыз. Коммутативті емес максимал теңсіздіктер туралы \cite{MJ1, JQ, TM} жұмыстарынан көруге болады. Харди-Литтлвуд операторының басқа нұсқасын Т.Бекжан \cite{TB} жұмысында келтірді. Кейінірек J.Shao Харди-Литтлвуд максимал операторын шенелген атомсыз фон Нейман алгебрасымен ассоциациялан\ган коммутативті емес Лоренц кеңістіктерінде зерттеген \cite{Sh}. Атап айтқанда, жартылай шенелген $M$ фон Нейман алгебрасымен қосылма $T$ операторы үшін Харди-Литтлвуд максимал операторы

$$MA(x)=\sup\limits_{r>0}\frac{1}{\tau\left(E_{[x-r, x+r]}\left(|A|\right)\right)}\tau\left(|A|E_{[x-r, x+r]}\left(|A|\right)\right),

\,\,x\geq0$$

түрінде анықталады. Лебег бойынша өлшенетін $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ функциясы үшін классикалық Харди-Литтлвуд максимал операторын $Mf(x)$ деп белгілеп,

$$Mf(x)=\sup\limits_{r>0}\frac{1}{m([x-r, x+r])}\int\limits_{[x-r,x+r]}|f(t)|dt$$

түрінде анықтаймыз, мұнда\гы $m$ -- Лебег өлшемі \cite{SW}. Спектрлік теория бойынша

$$|A|=\int_{\sigma(|A|)}tdE_{t}$$

болатынды\гын байқау\га болады, сонымен қатар $MA(|A|)$ операторын $MA(x)$ түрінде жазамыз. Сонымен, $A$ операторы үшін Т.Бекжан

тұжырымы бойынша $MA(|A|)$ операторы классикалық жа\гдайда\гы Харди-Литтлвуд максимал операторының аналогы ретінде анықталады.

Біздің мақсатымыз -- Т.Бекжан\cite{TB} жұмысында\гы $M$ Харди-Литтлвуд максимал операторын зерттеу болып табылады.

               Нақтырақ айтқанда, біз коммутативті емес Лоренц кеңістіктерінде коммутативті емес Харди-Литтлвуд максимал операторының шенелгендігін аламыз.