Екi өлшемдi гармоникалық осциллятордың Грин функциясының кескiнделуi

Аңдатпа

1933 жылы Курант Р. мен Гильберт Д. тіктөртбұрышта Лаплас операторы үшін Дирихле есебінің меншікті функциялары бойынша қайнар көз функциясының формалды жіктелуін қарастырды. Көрсетілген қатар тіктөртбұрыштың ішкі нүктелерінің кез-келген жұбы үшін жинақтала алмайтыны белгілі болды. Сондықтан қатардың жинақтылығы тек шартты болуы мүмкін. Онда шартты жинақтылық үшін қосындылау тәртібі маңызды. Мұндай жіктелулер В.А. Ильиннің еңбектерінде жүйелі түрде зерттелген. Бұл жұмыста екі өлшемді гармоникалық осциллятордың меншікті функциялары бойынша қайнар көз функциясының жіктелуінің жинақталуы зерттелген. Екі өлшемді гармоникалық осциллятордың Грин функциясының түрі алынды. Грин функциясының ерекшеліктері көрсетілген. Нәтижесінде екі өлшемді гармоникалық  екені анықталды. Ерекшеліктер координаттар басына қарағанда симметриялы орналасқан. Мұндай әсер В.А. Ильиннің зерттеулерінде байқалған емес. В.А. Ильин зерттеген бөлшек ретті ядролардың бір ғана ерекше нүктесі болды. Тағы бір жағдай екі өлшемді гармоникалық осциллятордың Грин функциясын шенелген облыста шеттік есептердің Грин функциясынан ажыратады: жазық шенелген облыста шеттік есептің Грин функциясының логарифмдік ерекшелігі, ал екі өлшемді гармоникалық осциллятордың Грин функциясының дірежелік ерекшеліктері бар. Алайда, бұл ерекшеліктің дәрежесі шенелген облыстағы үш өлшемді шеттік есептің Грин функциясының дәрежелік ерекшелігінен әлдеқайда аз.