Граничная задача для уравнения типа Буссинеска в треугольнике

Аннотация

Ранее нами была рассмотрена начально-граничная задача для одномерного уравнения типа Буссинеска в области, представляющей собой трапецию, в которой методами теории монотонных операторов установлены теоремы об её однозначной слабой разрешимости в соболевских классах. В этой статье мы продолжаем исследования в данном направлении и изучаем вопросы корректной постановки граничной задачи для одномерного уравнения типа Буссинеска в вырождающейся области, представляющей собой треугольник. Предложено скалярное произведение с помощью которого показана монотонность основных операторов, и получены равномерные априорные оценки. Далее методами теории монотонных операторов и априорных оценок установлены теоремы об её однозначной слабой разрешимости в соболевских классах. Установлена теорема о повышении гладкости слабого решения. При доказательстве теоремы о повышении гладкости мы используем обобщение классического результата о компактности в банаховых пространствах, доказанного Ю.И. Дубинским ("Weak convergence in nonlinear elliptic and parabolic equations Sbornik: Mathematics, 67 (109): 4 (1965)) при наличии ограниченного множества из полунормированного пространства вместо нормированного. Также показано, что решение может иметь особенность в точке вырождения области. Порядок данной особенности определен, и доказана соответствующая теорема.