ОБ ОДНОМЕРНОМ УРАВНЕНИИ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Аннотация

Изучение периодических во времени решений многомерного волнового уравнения во всем трехмерном пространстве является важной областью исследований в прикладной математике. Известно, что это исследование приводит к условию излучения Зоммерфельда на бесконечности. Условие излучения гласит, что для решения одномерного волнового уравнения, такого как уравнение Гельмгольца или волновое уравнение, необходимо представлять исходящую волну на бесконечности. Уравнение Гельмгольца в одномерном пространстве, которое моделирует распространение электромагнитных волн в системах, эффективно сведенных к одному измерению, эквивалентно не зависящему от времени уравнению Шредингера. Потенциал Гельмгольца является фундаментальным понятием в задачах распространения волн, таких как электромагнитные волны в волноводах, звуковые волны в акустических волноводах и квантовая механика.\\Задача Зоммерфельда в одномерном случае требует специального исследования, а условия излучения в одномерном случае отличаются от условий в многомерном случае. Эти различия связаны с особенностями фундаментальных решений.\\В этой работе, мы построили фундаментальное решение одномерного уравнения Гельмгольца. Затем, мы нашли граничные условия для одномерного потенциала Гельмгольца. Также, для одномерного уравнения Гельмгольца найдена условия, эквивалентные условиям излучения Зоммерфельда .