Построение разрушающих решений модифицированного уравнения Веселова-Новикова с помощью поверхности Эннепера второго порядка

Аннотация

В данной статье построены разрушающие решения модифицированного уравнения Веселова-Новикова (являющегося двумеризацией модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза) с помощью инверсий минимальной поверхности Эннепера второго порядка. И эти решения имеют сингулярность в одной точке пространства-времени, аналогично работе [1]. Алгоритм решения модифицированного уравнения Веселова-Новикова был приведен в работе [2], и в работе [3] была получена геометрическая интерпретация преобразования Мутара. Оно задается решением уравнения Дирака Dψ = 0 и тремя вещественными константами. И любое решение этого уравнения определяет поверхность в трехмерном евклидовом пространстве, заданную с точностью до сдвигов, с помощью представления Вейерштрасса. Фиксируя три константы, мы полностью фиксируем поверхность. На этой поверхности задается конформный параметр, и потенциал U оператора Дирака является потенциалом представления этой поверхности. Применив к этой поверхности инверсию с центром вначале координат, мы получаем новую поверхность с тем же самым конформным параметром и новым потенциалом.Оказывается, что потенциал инверсированной поверхности и есть в точности потенциал, построенный с помощью преобразования Мутара по указанным данным [3]. В результате данной статьи этот потенциал был построен (теорема 1) для неизвестных пока решений линейной системы уравнений (8) с помощью алгоритма преобразования Мутара; была получена геометрическая интерпретация преобразования Мутара на примере поверхности Эннепера второго порядка, т.е. для явных решений данной линейной системы уравнений найдены потенциалы (теорема 2), которые удовлетворяют модифицированному уравнению Веселова-Новикова.