О вероятностном решений задачи Коши для параболических уравнений
Ключевые слова:
Винеровский процесс, стохастический интеграл, условное математическое ожидание по траекториям процесса, совместное распределение, совместная характеристическая функция, преобразование ЛапласаАннотация
Вопросы о нахождении (условных) математических ожидании, совместных и маргинальных распределении различных функционалов от траекторий случайных процессов, выражаемых через самого процесса, обычного стохастического интеграла и стохастического интеграла Ито (стохастические интегралы понимаются как интегралы в среднеквадратичном смысле) относятся к числу важных вопросов как самой теории случайных процессов, так и ее многочисленных приложений. Но не всегда удается найти (совместных) распределений указанных функционалов прямыми вычислениями, поэтому обычно прибегают к тем или иным способам нахождения нужных характеристик. Одним из таких методов является так называемый метод дифференциальных уравнений, который сводит задачу о нахождении совместных распределений функционалов от случайных процессов к решению (связанных с данными функционалами) дифференциальных уравнений в частных производных. Целью настоящей работы является нахождение совместного распределения указанных выше видов функционалов, причем присутствующие в определениях этих функционалов подинтегральные функции зависят как от временной, так и от пространственной координат. Для этого сначала выводится уравнение для совместной характеристической функции рассматриваемых функционалов и показывается, что в некоторых частных случаях нахождение преобразования Лапласа решения этого уравнения можно свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В качестве приложения найдены явные виды распределения некоторого функционалов от винеровского процесса и обсуждены некоторые их возможные приложения.
