Оценка максимальной регулярности для дифференциального уравнения с колеблющимися коэффициентами

Аннотация

В работе рассматривается дифференциальное уравнение второго порядка с неограничен- ными коэффициентами. Получены достаточные условия суммируемости с весом решения и его производных вплоть до второго порядка. Изучаемое уравнение является сингулярным, так как оно задано в бесконечной области, а его коэффициенты могут быть не ограни- ченными. Главной его особенностью является быстрый рост коэффициента при первой производной искомого решения, из-за чего не применима хорошо развитая теория уравнений Штурма-Лиувилля. Исследуемое уравнение и его многомерные обобщения возникают в моделировании броуновского движения частиц, в задачах биологии и финансовой ма- тематики. Их известными представителями являются уравнения Орнштейна-Уленбека и Фоккера-Планка –Колмогорова, которые активно изучаются начиная с первой половины двадцатого века. С другой стороны, в приложениях хорошо известны проекционные методы (например, преобразования Фурье или Лапласа), которые сводят уравнения в частных производных с коэффициентами, зависящими от одной переменной, к обыкно- венным дифференциальным уравнениям. Поэтому настоящее исследование важно для уравнений в частных производных с неограниченными коэффициентами. В отличие от предыдущих работ, старший и промежуточный коэффициенты исследуемого уравне- ния могут быть сильно колеблющимися. При доказательстве основных теорем, авторы пользуются более ранним их результатом о корректной разрешимости указанного уравнения.