Решение модельной задачи Веригина с малым параметром в пространстве Гельдера. Solution of the model Verigin problem with a small parameter in the Holder space.
74 46
Keywords:
задача Веригина, задача со свободными границами, уравнение параболического типа, пространство Гельдера, оценка решения, Verigin problem, free boundary problem, parabolic equation, Holder space, estimate of the solution.Abstract
В данной работе исследуется модельная задача Веригина, возникающая при решении нелинейной задачи со свободной границей с условием Веригина на неизвестной (свободной) границе. Будут доказаны существование, единственность и равномерные по малому параметру оценки решения. Полученные результаты будут использованы для доказательства существования, единственности и оценок решения линеаризованной и нелинейной задач Веригина с малым параметром. Кроме того, будет установлена оценка производной ε′(t), что существенно для обоснования предельного перехода при ε → 0 в этих задачах. In this paper we study the model Verigin problem arising on solving nonlinear free boundary problem with Verigin condition on the unknown (free) boundary. We prove existence, uniqueness and uniform respect to the small parameter estimates of solution. Obtained results will be used to prove the existence, uniqueness and estimates of solution of the linearized and non-linear Verigin problems with a small parameter. Furthermore, the estimate of the derivative ε′(t) will be established, which is essential for justification limit as ε → 0 in these problems.References
[1] Веригин Н.Н. Нагнетание вяжущих растворов в горные породы в целях повышения прочности и водонепроницаемости основания гидротехнических сооружений // Изв. АН СССР, Отдел техн. наук, 1952. – С. 674-687.
[2] Рубинштейн Л.И. О решении задачи Н.Н. Веригина // ДАН СССР 113, №1 (1957), С. 50-53.
[3] Камынин Л.И. О существовании решения задачи Веригина // Журн. выч. матем. и мат. физики 2, №5 (1962), С. 833-858.
[4] Evans L.S., Friedman А. Regularity and asymptotic behavior of two immiscible fluids in a one dimensional porous medium, J.Differ.Equat. 31, No. 3 (1979), 366-391.
[5] Мейрманов А.М. О разрешимости задачи Веригина в точной постановке // ДАН СССР 253, №3 (1980), С. 588-591.
[6] Бижанова Г.И. О классической разрешимости одномерных задач со свободной границей Флорина, Маскета-Веригина и Стефана // Зап. научн. сем. ПОМИ, 243
(1997), С. 30–60.
[7] Youshan T., Yi F. Classical Verigin problem as a limit case of Verigin problem with surface tension at free boundary, Appl. Math. – JCU 11B (1996), 307-322.
[8] Rodrigues J.F., Solonnikov V.A., Yi F., On a parabolic system with time derivative in the boundary conditions and related free boundary problems, Math. Ann., 315 (1999), 61–95.
[9] Bizhanova G.I. Solution of a model problem related to singularly perturbed, free boundary, Stefan type problems, Zapiski nauchn. semin. POMI, 2008, Vol. 362, P. 64-91.
[10] Bizhanova G.I. On the solutions of the linear free boundary problems of Stefan type with a small parameter. I-II, Математический журнал. Алматы, 2012. Том 12. №1 (43). C. 24-37; №2 (44). 70-86.
[11] Солонников В. А. Об оценке максимумов модулей производных решений однородной параболической начально-краевой задачи. – Препринт ЛОМИ, (1977). – С. 2-77.
[12] Бижанова Г.И. Оценки решения n−мерной задачи сопряжения для уравнения теплопроводности в весовых гельдеровских нормах, I, II. // Известия АН РК, сер. физ.-мат. № 5 (1992). – С. 7-13; № 1 (1993), – С. 11-17.
[13] Алимжанов Е.С. Модельная задача Веригина с малым параметром // Вестник КазНУ им. ал-Фараби, сер. матем., мех. и инф., № 1 (2011). – C. 20-28.
[2] Рубинштейн Л.И. О решении задачи Н.Н. Веригина // ДАН СССР 113, №1 (1957), С. 50-53.
[3] Камынин Л.И. О существовании решения задачи Веригина // Журн. выч. матем. и мат. физики 2, №5 (1962), С. 833-858.
[4] Evans L.S., Friedman А. Regularity and asymptotic behavior of two immiscible fluids in a one dimensional porous medium, J.Differ.Equat. 31, No. 3 (1979), 366-391.
[5] Мейрманов А.М. О разрешимости задачи Веригина в точной постановке // ДАН СССР 253, №3 (1980), С. 588-591.
[6] Бижанова Г.И. О классической разрешимости одномерных задач со свободной границей Флорина, Маскета-Веригина и Стефана // Зап. научн. сем. ПОМИ, 243
(1997), С. 30–60.
[7] Youshan T., Yi F. Classical Verigin problem as a limit case of Verigin problem with surface tension at free boundary, Appl. Math. – JCU 11B (1996), 307-322.
[8] Rodrigues J.F., Solonnikov V.A., Yi F., On a parabolic system with time derivative in the boundary conditions and related free boundary problems, Math. Ann., 315 (1999), 61–95.
[9] Bizhanova G.I. Solution of a model problem related to singularly perturbed, free boundary, Stefan type problems, Zapiski nauchn. semin. POMI, 2008, Vol. 362, P. 64-91.
[10] Bizhanova G.I. On the solutions of the linear free boundary problems of Stefan type with a small parameter. I-II, Математический журнал. Алматы, 2012. Том 12. №1 (43). C. 24-37; №2 (44). 70-86.
[11] Солонников В. А. Об оценке максимумов модулей производных решений однородной параболической начально-краевой задачи. – Препринт ЛОМИ, (1977). – С. 2-77.
[12] Бижанова Г.И. Оценки решения n−мерной задачи сопряжения для уравнения теплопроводности в весовых гельдеровских нормах, I, II. // Известия АН РК, сер. физ.-мат. № 5 (1992). – С. 7-13; № 1 (1993), – С. 11-17.
[13] Алимжанов Е.С. Модельная задача Веригина с малым параметром // Вестник КазНУ им. ал-Фараби, сер. матем., мех. и инф., № 1 (2011). – C. 20-28.
Downloads
How to Cite
Алимжанов, Е. С. (2013). Решение модельной задачи Веригина с малым параметром в пространстве Гельдера. Solution of the model Verigin problem with a small parameter in the Holder space. Journal of Mathematics, Mechanics and Computer Science, 78(3), 19–32. Retrieved from https://bm.kaznu.kz/index.php/kaznu/article/view/102
Issue
Section
Mechanics, Mathematics, Computer Science
