Оценка начальных масштабов для оператора Шредингера со случайным быстро осциллирующим потенциалом в многомерном слое

  • D. I. Borisov Университет г. Градец Кралове, Градец Кралове, Чешская Республика
Ключевые слова: случайный гамильтониан, быстро осциллирующий потенциал, оценка начальных масштабов, малый параметр, многомерный слой

Аннотация

Рассматривается Лапласиан с условием Дирихле в многомерном слое, заключенном между двумя параллельными гиперплоскостями коразмерности один. Такой оператор возмущается быстро осциллирующими случайным потенциалом. А именно, слой делится на периодические ячейки некоторой периодической решеткой и в каждой ячейке рассматривается быстро осциллирующий потенциал, зависящий от случайной переменной, умноженной на глобальный малый параметр. Все случайные переменные, соответствующие ячейкам периодичности, предполагаются независимыми и одинаково распределенными. Быстро осциллирующий потенциал вводится обычным для теории усреднении образом. А именно, он зависит от быстрых и медленных переменных, финитен по медленным переменным и периодичен по быстрым переменным. Главный полученный результат – оценка начальных масштабов для рассматриваемого оператора. Такая оценка является базой индукции для доказательства спектральной локализации на нижнем краю спектра с помощью многомасштабного анализа.

Литература

[1] D.I. Borisov «Initial length scale estimate for layers with small random negative definite perturbations», J. Math. Sci. (2017 to appear).
[2] D.I. Borisov, R.Kh. Karimov, T.F. Sharapov «Initial length scale estimate for waveguides with some random singular potentials», Ufa Math. J. Vol.7, No.2.(2015) : 33–54.
[3] N.S. Bakhvalov, G.P. Panasenko Homogenization: Averaging Processes in Periodic Media: Mathematical Problems in the Mechanics of Composite Materials (Nauka, Moscow, 1984). Translated by Kluwer (Dordrecht, 1989).
[4] F. Martinelli and H. Holden «On absence of diffusion near the bottom of the spectrum for a random Schrödinger operator on L 2 (R ν )», Comm. Math. Phys. Vol. 93, No. 2.(1984): 197-217.
[5] J. Fröhlich, Т. Spencer «Absence of diffusion in the Anderson tight binding model for large disorder or low energy», Comm. Math. Phys. Vol. 88, No. 2. (1983) : 151-184.
[6] J. Baker, M. Loss, and G. Stolz «Minimizing the ground state energy of an electron in a randomly deformed lattice», Comm. Math. Phys. Vol. 283, No. 2. (2008) : 397–415.
[7] D. Borisov and I. Veselić «Low lying spectrum of weak-disorder quantum waveguides», J. Stat. Phys. Vol. 142, No. 1. (2011) : 58–77.
[8] D. Borisov and I. Veselić «Low lying eigenvalues of randomly curved quantum waveguides», J. Funct. Anal. Vol. 265, No. 11. (2013) : 2877–2909.
[9] J. Bourgain «An approach to Wegner’s estimate using subharmonicity», J. Stat. Phys. Vol. 134, No. 5-6. (2009) : 969–978.
[10] L. Erdös and D. Hasler «Anderson localization at band edges for random magnetic fields», J. Stat. Phys. Vol. 146, No. 5. (2012) : 900–923.
[11] L. Erdös and D. Hasler «Wegner estimate and anderson localization for random magnetic fields», Comm. Math. Phys. Vol. 309, No. 2. (2012) : 507–542.
[12] F. Ghribi, P. D. Hislop, and F. Klopp «Localization for Schrödinger operators with random vector potentials», In Adventures in mathematical physics. Contemp. Math. Providence, RI, Amer. Math. Soc. Vol. 447. (2007) : 123–138.
[13] F. Ghribi and F. Klopp «Localization for the random displacement model at weak disorder», Ann. Henri Poincaré Vol. 11, No. 1-2. (2010) : 127–149.
[14] P.D. Hislop and F.Klopp «The integrated density of states for some random operators with nonsign definite potentials», J. Funct. Anal. Vol. 195, No. 1. (2002) : 12–47.
[15] F. Kleespies and P. Stollmann «Lifshitz asymptotics and localization for random quantum waveguides», Rev. Math. Phys. Vol. 12, No. 10. (2000) : 1345–1365.
[16] F. Klopp «Localization for semiclassical continuous random Schrödinger operators II, No. The random displacement model», Helv. Phys. Acta. Vol. 66, No. 7-8. (1993) : 810–841.
[17] F. Klopp «Localisation pour des opérateurs de Schrödinger aléatoires dans L 2 (R d ): un modéle semi-classique», Ann. Inst. Fourier (Grenoble) Vol. 45, No. 1. (1995) : 265–316.
[18] F. Klopp «Localization for some continuous random Schrödinger operators», Comm. Math. Phys. Vol. 167, No. 3. (1995) : 553–569.
[19] F. Klopp «Weak disorder localization and Lifshitz tails: continuous Hamiltonians», Ann. Henri Poincaré Vol. 3, No. 4. (2002) : 711–737.
[20] F. Klopp, M. Loss, S. Nakamura, and G. Stolz «Localization for the random displacement model», Duke Math. J. Vol. 161, No. 4. (2012) : 587–621.
[21] F. Klopp and S. Nakamura «Spectral extrema and Lifshitz tails for non-monotonous alloy type models», Comm. Math. Phys. Vol. 287, No. 3. (2009) : 1133–1143.
[22] F. Klopp, S. Nakamura, F. Nakano, and Y. Nomura «Anderson localization for 2D discrete Schrödinger operators with random magnetic fields», Ann. Henri Poincaré Vol. 4, No. 4. (2003) : 795–811.
[23] V. Kostrykin and I. Veselić «On the Lipschitz continuity of the integrated density of states for sign-indefinite potentials», Math. Zeit. Vol. 252, No. 2. (2006) : 367–392.
[24] D. Lenz, N. Peyerimhoff, O. Post, and I. Veselić «Continuity properties of the integrated density of states on manifolds», Japan. J. Math. Vol. 3, No. 1. (2008) : 121–161.
[25] D. Lenz, N. Peyerimhoff, O. Post, and I. Veselić «Continuity of the integrated density of states on random length metric graphs», Math. Phys. Anal. Geom. Vol. 12, No. 3 (2009) : 219-254.
[26] D. Lenz, N. Peyerimhoff, and I. Veselić «Integrated density of states for random metrics on manifolds», Proc. London Math. Soc. Vol. 88, No. 3. (2004) : 733–752.
[27] K. Leonhardt, N. Peyerimhoff, M. Tautenhahn, and I. Veselić «Wegner estimate and localization for alloy-type models with sign-changing exponentially decaying single-site potentials», Rev. Math. Phys. Vol. 27, No. 4. (2015) : 1550007.
[28] G. Stolz «Non-monotonic random Schrödinger operators: the Anderson model», J. Math. Anal. Appl. Vol. 248, No. 1. (2000) : 173–183.
[29] N. Ueki «On spectra of random Schrödinger operators with magnetic fields», Osaka J. Math. Vol. 31, No. 1. (1994) : 177–187.
[30] N. Ueki «Simple examples of Lifschitz tails in Gaussian random magnetic fields», Ann. Henri Poincaré Vol. 1, No. 3. (2000) : 473–498.
[31] N. Ueki «Wegner estimate and localization for random magnetic fields», Osaka J. Math. Vol. 45, No. 3. (2008) : 565–608.
[32] I. Veselić «Wegner estimate and the density of states of some indefinite alloy type Schrödinger operators», Lett. Math. Phys. Vol. 45, No. 3. (2002) : 199–214.
[33] D. Borisov, A. Golovina, I. Veselić «Quantum Hamiltonians with weak random abstract perturbation. I. Initial length scale estimate», Ann. H. Poincaré Vol. 17, No. 9. (2016) : 2341–2377.
Опубликован
2018-06-27