Some asymptotic results for kernel density estimation with Lipschitz smoothness. Некоторые асимптотические результаты для оценки плотности ядра с Липшицевой гладкости

Authors

  • A. S. Aipenova Al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan

Keywords:

kernel density estimation, Lipschitz smoothness, density derivative estimator, uniform consistency, bandwidth choice, оценка плотности ядра, Липшицевая гладкость, оценка производных плотности, равномерная согласованность, выбор полосы пропускания.

Abstract

Estimates of density derivatives can be used to evaluate modes and inection points of f and can be applied, for example, to the bandwidth choice for the estimation of densities themselves. In this paper we generalized the nonparametric kernel density estimator suggested by [6] to the estimation of 1 st order density derivatives. Some results for this estimator are obtained. Our results are based on imposing global Lipschitz conditions on f and applying the kernel suggested by [6]. An integral representation for the bias and the exact orders of the bias and variance of the estimator are obtained. The conditions of consistency and uniform consistency of this estimator are studied. A criterion for the optimal bandwidth that minimizes asymptotic integrated mean squared error is provided.The general case will be considered elsewhere. Оценки производных плотности могут быть использованы для оценок мод, точек перегиба f, а также, к примеру, для выбора полосы пропускания оценки самих плотностей. В данной работе мы обобщаем непараметрические ядерные оценки плотности,предложенные в [6], на случай оценки производной плотности первого порядка. Для этой оценки получены некоторые результаты. Наши результаты основаны на введении глобальных условий Липшица на f и применении ядра предложенного в [6]. Получено интегральное представление для смещения, получены точные по порядку оценки для смещения и вариации оценки. Условия согласованности и равномерной согласованности этой оценки изучены. Найден критерий для оптимальной полосы пропускания, который минимизирует асимптотическую интегрированную среднеквадратичную ошибку. Общий случай будет рассмотрен в другой статье.

References

[1] Emanuel P. On estimation of a Probability Density Function and Mode // Annals of Mathematical Statistics. -1962. -Vol.33. -P. 1065-1076.

[2] Rosenblatt M. Remarks on some non-parametric estimates of a density function // Annals of Mathematical Statistics. -1956. -Vol.27. -P. 832-837.

[3] Bhattacharya P.K. Estimation of a probability density function and its derivatives // Sankhya. -1967. Vol.29. -P. 373-382.

[4] Shuster E.F. Estimation of a probability density function and its derivatives // Annals of Mathematical Statistics. -1969. -Vol.40. -P. 1187-1195.

[5] Silverman B.W. Weak and strong uniform consistency of the kernel estimate of a density and its derivatives // Annals of Mathematical Statistics. -1978. -Vol.6. -P. 177-184.

[6] Mynbaev K.T., Martins-Filho C. Bias reduction in kernel density estimation via Lipschitz condition // Journal of Nonparametric Statistics. -2010. -Vol.22. -P. 219-235.

[7] Jenrich R.I. Asymptotic properties of non-linear least squares estimators // Annals of Mathematical Statistics. -1969. -Vol.40. -P. 633-643.

[8] Tsybakov A.B. Introduction to Nonparametric Estimation // Springer, New York. -2009.-P. 1-76.

Downloads

Issue

Section

Mechanics, Mathematics, Computer Science