Approximation by C∞ functions in Sobolev-Morrey spaces. Приближение бесконечно дифференцируемыми функциями в пространствах Соболева-Морри

Abstract

In this paper we consider Sobolev spaces built on Morrey spaces, also referred to as Sobolev Morrey spaces, i.e., the spaces of functions which have derivatives up to a certain order in Morrey spaces. First we characterize the functions in a Morrey space which can be approximated in norm by smooth functions, as the functions which belong to a specic subspace of the Morrey space, which we call the 'little' Morrey space. Contrary to the classical Sobolev spaces built on the Lp spaces with p < ∞, the Sobolev spaces built on Morrey spaces are not separable spaces even if p < ∞ and we cannot expect that the set of C1 functions of a Sobolev Morrey space be dense in a Sobolev Morrey space. However, we show that the functions in a Sobolev space built on little Morrey spaces can be approximated by C1 functions. В данной работе мы рассматриваем пространства Соболева, построенные на основе пространств Морри, также носящих название пространств Соболева-Морри, т.е. пространства функций, имеющих производные вплоть до определенного порядка в пространствах Морри.Сперва мы описываем функции из пространства Морри, которые можно приблизить по норме бесконечно дифференцируемыми функциями, как функции, принадлежащие определенному подпространству пространства Морри, называемому 'малым'пространством Морри. В отличие от классических пространств Соболева, построенных на основе пространств Lp, где p < ∞, пространства Соболева, построенные на основе пространств Морри, не являются сепарабельными пространствами даже при p < ∞ и у нас нет оснований ожидать, что множество бесконечно дифференцируемых функций из пространства Соболева-Морри будет плотно в пространстве Соболева-Морри. Однако,мы показываем, что функции из пространства Соболева, построенного на основе малого пространства Морри, могут быть приближены бесконечно дифференцируемыми функциями.