Модификации многомасштабного метода конечных элементов для решения задач электромагнетизма на постоянном и переменном токе
61 42
Keywords:
переменный ток, постоянный ток, метод конечных элементов, разрывный метод Галеркина, многомасштабные методыAbstract
работе предлагаются многомасштабные модификации метода конечных эле-
ментов на симплициальных разбиениях применительно к решению стационарных и гармони-
ческих задач электромагнетизма. На постоянном токе формулируется скалярная задача, ко-
торая решается гетерогенным многомасштабным методом, на всех уровнях иерархии которого
используется тетраэдральное разбиение. На переменном токе решается векторное уравнение
Гельмгольца, для решения которого строится многомасштабный разрывный метод Галеркина,
сочетающий классический векторный метод конечных элементов, разрывный метод Галер-
кина и многомасштабный метод суперэлементов Федоренко. Моделирование выполняется в
гетерогенных средах сложной внутренней структуры
References
1. Стаховская Л.Г., Федоренко Р.П. Об одной специальной разностной схеме //Численные методы МСС. –
1974. – Т.5, № 1. – С. 149-163.
2. Федоренко Р.П., Страховская Л.Г. Об одном варианте метода конечных элементов //Журнал вычисли-
тельной математики и математической физики. – 1979. – Т.19, № 4. – С. 950-960.
3. Федоренко Р.П., Введение в вычислительную физику. – М.: МФТИ. – 1994. – Т.4. – 517 с.
4. Babuska I., Osborn J.E. Generalized finite element methods: their performance and their relation to mixed
methods //SIAM Journal on Numerical Analysis. – 1983. – Vol.20, № 3. – pp. 510-536.
5. Arndt M., Scremin A., Machado R.D. The Generalized Finite Element Method Applied to Free Vibration of
Framed Structures. – INTECH Open Access Publisher. – 2011.
6. Soghrati S., Aragуn A.M., Duarte C.A. and Geubelle P.H. An interface-enriched generalized FEM for problems
with discontinuous gradient fields //International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 2012. –
Vol.89, № 8. – pp. 991-1008.
7. Hou T.Y., Wu X.H. A multiscale finite element method for elliptic problems in composite materials and porous
media //Journal of computational physics. – 1997. – Vol.134, № 1. – pp. 169-189.
8. Hou T., Wu X.H., Cai Z. Convergence of a multiscale finite element method for elliptic problems with rapidly
oscillating coefficients //Mathematics of Computation of the American Mathematical Society. – 1999. – Vol.68,
№ 227. – pp. 913-943.
9. E W., Engquist B. The heterognous multiscale methods //Communications in Mathematical Sciences. – 2003.
– Vol.1, № 1. – pp. 87-132.
10. Ming P. Zhang P. Analysis of the heterogeneous multiscale method for elliptic homogenization problems
//Journal of the American Mathematical Society. – 2005. – Vol. 18, № 1. – pp. 121-156.
11. Abdulle A., Schwab C. Heterogeneous multiscale FEM for diffusion problems on rough surfaces //Multiscale
Modeling and Simulation. – 2005. – Vol.3, № 1. – pp. 195-220.
12. Abdulle A. Analysis of a heterogeneous multiscale FEM for problems in elasticity //Mathematical Models
and Methods in Applied Sciences. – 2006. – Vol.16, № 04. – pp. 615-635.
13. Abdulle A. Multiscale methods for advection-difusion problems //Discrete Contin. Dyn. Syst. – 2005. – pp.
11-21.
14. Abdulle A. On a priori error analysis of fully discrete heterogeneous multiscale FEM //Multiscale modeling
and simulation. – 2005. – Vol.4 – pp. 447-459.
15. Henning P., Ohlberger M. The heterogeneous multiscale finite element method for advectiondiffusion
problems with rapidly oscillating coefficients and large expected drift //NETWORKS AND
HETEROGENEOUS MEDIA – 2010. – Vol.5, № 2. – pp. 711-744.
16. Aarnes J., Heimsund B.O. Multiscale discontinuous Galerkin methods for elliptic problems with multiple
scales //Multiscale methods in science and engineering. -– Springer Berlin Heidelberg. – 2005. – pp. 1-20.
17. Zhang Y., Wang W., Guzman J., Shu C. W. Multi-scale discontinuous Galerkin method for solving elliptic
problems with curvilinear unidirectional rough coefficients //Journal of Scientific Computing. -– 2014. -– Vol.61,
№. 1. -– pp. 42-60.
18. Elfverson D., Georgoulis E.H., Malqvist A., Peterseim D. Convergence of a discontinuous Galerkin multiscale
method //SIAM Journal on Numerical Analysis. — 2013. -– Vol. 51, №. 6. – pp. 3351-3372.
19. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. – М.: Высшая
школа. – 2000.
20. Nedelec J.-C. A new family of mixed finite elements in R3 //Numer.Math. – 1986. – Vol.50, № 1. – pp. 57-81.
21. Webb J.P. Hierarchal scalar and vector tetrahedra //IEEE Transactions on magnetics. – 1993. – Vol.29, №
2. – pp. 1495-1498.
22. Михайлова Е.И., Шурина Э.П. Математическое моделирование высокочастотного электромагнитного
поля в волноводных устройствах //Вестник НГУ. Математика, механика, информатика. – 2013. – Т.13,
№ 4. – С. 102-118.
23. Monk P. Finite element methods for Maxwell’s equations. – Oxford University Press. – 2003. – 450 p.
1974. – Т.5, № 1. – С. 149-163.
2. Федоренко Р.П., Страховская Л.Г. Об одном варианте метода конечных элементов //Журнал вычисли-
тельной математики и математической физики. – 1979. – Т.19, № 4. – С. 950-960.
3. Федоренко Р.П., Введение в вычислительную физику. – М.: МФТИ. – 1994. – Т.4. – 517 с.
4. Babuska I., Osborn J.E. Generalized finite element methods: their performance and their relation to mixed
methods //SIAM Journal on Numerical Analysis. – 1983. – Vol.20, № 3. – pp. 510-536.
5. Arndt M., Scremin A., Machado R.D. The Generalized Finite Element Method Applied to Free Vibration of
Framed Structures. – INTECH Open Access Publisher. – 2011.
6. Soghrati S., Aragуn A.M., Duarte C.A. and Geubelle P.H. An interface-enriched generalized FEM for problems
with discontinuous gradient fields //International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 2012. –
Vol.89, № 8. – pp. 991-1008.
7. Hou T.Y., Wu X.H. A multiscale finite element method for elliptic problems in composite materials and porous
media //Journal of computational physics. – 1997. – Vol.134, № 1. – pp. 169-189.
8. Hou T., Wu X.H., Cai Z. Convergence of a multiscale finite element method for elliptic problems with rapidly
oscillating coefficients //Mathematics of Computation of the American Mathematical Society. – 1999. – Vol.68,
№ 227. – pp. 913-943.
9. E W., Engquist B. The heterognous multiscale methods //Communications in Mathematical Sciences. – 2003.
– Vol.1, № 1. – pp. 87-132.
10. Ming P. Zhang P. Analysis of the heterogeneous multiscale method for elliptic homogenization problems
//Journal of the American Mathematical Society. – 2005. – Vol. 18, № 1. – pp. 121-156.
11. Abdulle A., Schwab C. Heterogeneous multiscale FEM for diffusion problems on rough surfaces //Multiscale
Modeling and Simulation. – 2005. – Vol.3, № 1. – pp. 195-220.
12. Abdulle A. Analysis of a heterogeneous multiscale FEM for problems in elasticity //Mathematical Models
and Methods in Applied Sciences. – 2006. – Vol.16, № 04. – pp. 615-635.
13. Abdulle A. Multiscale methods for advection-difusion problems //Discrete Contin. Dyn. Syst. – 2005. – pp.
11-21.
14. Abdulle A. On a priori error analysis of fully discrete heterogeneous multiscale FEM //Multiscale modeling
and simulation. – 2005. – Vol.4 – pp. 447-459.
15. Henning P., Ohlberger M. The heterogeneous multiscale finite element method for advectiondiffusion
problems with rapidly oscillating coefficients and large expected drift //NETWORKS AND
HETEROGENEOUS MEDIA – 2010. – Vol.5, № 2. – pp. 711-744.
16. Aarnes J., Heimsund B.O. Multiscale discontinuous Galerkin methods for elliptic problems with multiple
scales //Multiscale methods in science and engineering. -– Springer Berlin Heidelberg. – 2005. – pp. 1-20.
17. Zhang Y., Wang W., Guzman J., Shu C. W. Multi-scale discontinuous Galerkin method for solving elliptic
problems with curvilinear unidirectional rough coefficients //Journal of Scientific Computing. -– 2014. -– Vol.61,
№. 1. -– pp. 42-60.
18. Elfverson D., Georgoulis E.H., Malqvist A., Peterseim D. Convergence of a discontinuous Galerkin multiscale
method //SIAM Journal on Numerical Analysis. — 2013. -– Vol. 51, №. 6. – pp. 3351-3372.
19. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. – М.: Высшая
школа. – 2000.
20. Nedelec J.-C. A new family of mixed finite elements in R3 //Numer.Math. – 1986. – Vol.50, № 1. – pp. 57-81.
21. Webb J.P. Hierarchal scalar and vector tetrahedra //IEEE Transactions on magnetics. – 1993. – Vol.29, №
2. – pp. 1495-1498.
22. Михайлова Е.И., Шурина Э.П. Математическое моделирование высокочастотного электромагнитного
поля в волноводных устройствах //Вестник НГУ. Математика, механика, информатика. – 2013. – Т.13,
№ 4. – С. 102-118.
23. Monk P. Finite element methods for Maxwell’s equations. – Oxford University Press. – 2003. – 450 p.
Downloads
How to Cite
Эпов, М. И., Шурина, Э. П., Михайлов, Е. И., & Кутищева, А. Ю. (2018). Модификации многомасштабного метода конечных элементов для решения задач электромагнетизма на постоянном и переменном токе. Journal of Mathematics, Mechanics and Computer Science, 86(3), 219–230. Retrieved from https://bm.kaznu.kz/index.php/kaznu/article/view/537
Issue
Section
Mathematical modeling of technological processes
