О полноте системы корневых функций обыкновенного дифференциального оператора второго порядка с интегральными краевыми условиями. On completeness of the system of root functions of a second order ordinary dierential operator with integral boundary ...

Authors

  • Б. Е. Кангужин Казахский Национальный Университет имени аль-Фараби
  • Н. Е. Токмагамбетов Казахский Национальный Университет имени аль-Фараби

Keywords:

обыкновенный дифференциальный оператор, интегральное краевое условие, система корневых функций, полнота системы, ordinary dierential operator, integral boundary condition, system of root functions, completeness of system.

Abstract

В работе в функциональном пространстве L2(0, 1) рассмотрим обыкновенный дифференциальный оператор второго порядка L с интегральными краевыми условиями. Обыкновенные дифференциальные уравнения с интегральными краевыми условиями возникают в теории турбулентности и в теории марковских процессов. В случае двухточечных краевых условий полнота системы собственных и присоединенных функций были изучены в работах Марка Ароновича Наймарка и других ученых. Полнота системы собственных и присоединенных функций в случае интегральных краевых условий исследована в работах Юрий Ильича Любича, Андрея Андреевича Шкаликова и их учеников. В данной статье исследуется вопрос полноты системы собственных и присоединенных функций в функциональном пространстве L2(0, 1). При некоторых предположения на граничные функции получено условие для полноты системы собственных и присоединенных функций оператора L в исходных терминах граничных функций в функциональном пространстве L2(0, 1). In this paper in the functional space L2(0, 1) we consider an ordinary second order dierential operator L with integral boundary conditions. Ordinary dierential equations with integral boundary conditions arise in the theory turbulence and in the theory of Markov processes. In the case of two-point boundary conditions the completeness of the system of eigen-and associated functions were studied in Naimark Naimark and other scientists. Completeness of the system of eigenfunctions and associated functions in the case of integral boundary conditions investigated by Yury Ilyich Lubitsch, Andrei Adreevich Shkalikov and their students. This article arises the question of completeness of the system of eigenfunctions and associated functions in the functional space L2(0, 1). In some assumptions on the boundary functions it was obtained the condition for completeness of the system of eigenfunctions and associated functions of the operator L in the initial terms of the boundary functions in the functional space L2(0, 1).

References

[1] Sommerfeld, A. Ein Beitrag zur hydrodynamischen Erklarung der turbulenten Flussigkeitsbewegungen / A. Sommerfeld // Atti Intern. Matem.Rome. - 1909. - V.3. - P. 116124.

[2] Feller, W. The parabolic dierential equations and associated semi-grops of transformations / W. Feller // Ann. Math. - 1952. - V. 55. - 3. - P. 468518.

[3] Feller, W. Diusion processes in one dimension / W. Feller // Trans.Amer. Math. Soc.- 1954. - V. 77. - 1. - P. 131.

[4] Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы: монография. - М.: Наука,- 1969. - 528 c.

[5] Шкаликов, А.А. О полноте собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора с нерегулярными распадающимися краевыми условиями / А.А. Шкаликов // Функциональный анализ и его приложения. - 1976.- Т. 10. - Вып. 4. - С. 6980.

[6] Якубов, С.Я. Полнота собственных и присоединенных функций некоторых нерегулярных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений / С.Я.Якубов, К.С. Мамедов // Функ. анализ и его прил. - 1980. - Т. 14. - Вып. 4. - С. 9394.

[7] Марченко, В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. - Киев: Наукова думка, 1977, - С. 330.

[8] Маламуд, М.М. Теоремы полноты для систем дифференциальных уравнений /М.М. Маламуд, Л.Л. Оридорога // Функ. анализ и его прил. - 2000. - Т. 34. - Вып.4. - C. 88-90.

[9] Маламуд, М.М. О полноте системы корневых векторов оператора Штурма-Лиувилля с общими граничными условиями / М.М. Маламуд // Функциональный анализ и его приложения. - 2008. - Т. 42. - Вып. 3. - С.4552.

[10] Любич, Ю.И. О собственных и присоединенных функциях оператора дифференцирования / Ю.И. Любич // Изв. вузов. Математика. - 1959. - 4. С. 94103.

[11] Седлецкий, А.М. Биортогональные разложения функций в ряды экспонент на интервалах вещественной оси / А.М. Седлецкий // УМН. - 1982. -Т. 37. - Вып. 5. - С.5195.

[12] Шкаликов, А.А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями / А.А. Шкаликов //Вестник МГУ. - 1982. - Серия 1. - 6. - С. 1221.

[13] Божинов, Н.С. О теоремах единственности и полноте для разложения по собственным и присоединенным функциям нелокального оператор Штурма-Лиувилля на конечном интервале / Н.С. Божинов //Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т.26. -5. - С. 741753.

[14] Брюнс, В. О собственных и присоединенных функциях одномерного линейного дифференциального оператора n-го порядка / В. Брюнс // Изв. вузов. Матем. - 1972. -10. - С. 7-12.

[15] Shkalikov, A.A. On the Riesz basis property of the eigen- and associated functions of periodic and antiperiodic Sturm-Liouville problems / A.A. Shkalikov, O.A. Veliev //Mathematical Notes. - 2009. - V. 85. - Is. 56. - P. 647660.

[16] Malamud, M.M. On the completeness of the root vectors of rst-order systems / M.M.Malamud, L.L. Oridoroga // Doklady Mathematics. - 2010. - V. 82. - . 3. -P. 899904.

[17] Veliev, O.A. On the basis property of the root functions of dierential operators with matrix coecients / O.A. Veliev // Central European Journal of Mathematics. - 2011.- V. 9. -3. - P. 657672.

[18] Gesztesy, F. A Schauder and Riesz basis criterion for non-self-adjoint Schrodinger operators with periodic and antiperiodic boundary conditions / F. Gesztesy, V.Tkachenko // Journal of Dierential Equations. - 2012. - V. 253. - P. 400437.

[19] Отелбаев, М. О корректных задачах типа Бицадзе-Самарского / М. Отелбаев, А.Н. Шыныбеков // Доклады АН СССР. - 1982. - 4. - С. 815819.

[20] Отелбаев, М. К вопросам расширения и сужения операторов / М. Отелбаев, Б.К. Кокебаев, А.Н. Шыныбеков // Доклады АН СССР. - 1983. - 6. - С. 13071311.

[21] Кангужин, Б.Е. Корректные задачи для оператора Лапласа в проколотой области / Б.Е. Кангужин, А.А. Анияров // Мат. заметки. - 2011. -Т. 89. -Вып. 6. - С. 856867.

[22] Кангужин, Б.Е. Аппроксимативные свойства системы корневых функций, порождаемые корректно разрешимыми краевыми задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков / Б.Е. Кангужин, Д.Б. Нурахметов, Н.Е.Токмагамбетов // Уфимский математический журнал. - 2011. -Т.3. - 3. - С. 8092.

[23] Берикханова, Г.Е. Резольвенты конечномерных возмущенных корректных задач для бигармонического оператора / Г.Е. Берикханова, Б.Е. Кангужин // Уфимский математический журнал. - 2010. - Т. 2. - 1. - С. 1734.

[24] Рисс, Ф.Б., Секефальвен-Надь, Б. Лекции по функциональному анализу. - М: Мир, 1979. - С. 587.

Downloads

Issue

Section

Mechanics, Mathematics, Computer Science