Асимптотическое разложение решений краевых задач с начальными скачками для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений. Asymptotic expansion of solutions of boundary value problems with initial jumps for singularly perturbed ...

Abstract

Рассматривается двухточечная краевая задача для сингулярно возмущенных линейных интегро-дифференциальных уравнений n- го порядка с интегральными членами Фредгольма, обладающая на левом конце рассматриваемого отрезка явлением начального скачка m- го порядка. Определены регулярные и погранслойные части асимптотического разложения решений. Регулярные члены асимптотики построены в виде интегро-дифференциальных уравнений, отличающихся от обычных невозмущенных интегро-дифференциальных уравнений наличием дополнительных слагаемых, называемых начальными скачками интегральных членов. Определены величины этих начальных скачков. Краевые условия для регулярных членов асимптотики также содержат дополнительные слагаемые, называемые начальными скачками производных m- го порядка. Тем самым, для определения регулярных членов асимптотики получаются краевые задачи для линейных интегро-дифференциальных уравнений с дополнительным параметром. Для определения погранслойных членов асимптотического разложения решений получены начальные задачи для однородных и неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Получены экспоненциальные оценки для погранслойных членов асимптотики. Сформулирована теорема существования, единственности и об асимптотическом представлении решений с оценкой остаточного члена асимптотики. Установлено, что построенное асимптотическое приближение к решению исходной сингулярно возмущенной интегро-дифференциальной краевой задачи носит равномерный характер на всем рассматриваемом отрезке. We consider the two-point boundary value problem for a singularly perturbed linear integro-differential equations n-th order with Fredholm's integral terms having on the left end of the segment an initial jump phenomenon m-th order. Dened regular and boundary layer members of the asymptotic expansion of the solution. Regular members of the asymptotics constructed in the form of integro-differential equations, which dier from the usual unperturbed equations by the presence of additional term called initial jump of the integral terms. The values of the initial jumps are dened. Boundary conditions for the regular members of the asymptotics also contain additional term, called an initial jump of the derivatives m-th order. Thus, for the determination of the regular members of the asymptotics obtained boundary value problems for linear integro-differential equations with additional parameter. To determine the boundary layer of the asymptotic expansion of solution we obtained initial problems for homogeneous and inhomogeneous ordinary differential equations with constant coecients. Exponential estimates for boundary layer terms of the asymptotics are obtained. A theorem of existence and uniqueness and the asymptotic representations of solution with an estimate of the remainder term of the asymptotics. It is found that the constructed asymptotic approximation to the solution of the original singularly perturbed integro-differential boundary value problem is uniform throughout the considered interval.