Явление начального скачка в полувырождающейся краевой задаче с нелинейными условиями. The phenomenon of initial jump in semi-degenerate boundary value problem with nonlinear conditions.

Abstract

В данной работе рассматривается сингулярно возмущенные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка с нелинейными краевыми условиями не упорядоченные относительно старших производных. Для коэффициентов разложения найдены рекуррентные линейные дифференциальные уравнения и начальные условия.Найдено вырожденное уравнение. Определены условия для вырожденного уравнения. На отрезке 0 ≤ t ≤ 1 построено приближенное решение YN(t;ἐ) вспомогательной возмущенной начальной задачи с точностью порядка O(ἐ N+1). Получена равномерная асимптотика решения начальной задачи для сингулярно возмущенного уравнения с точностью до произвольного порядка... Установлены предельные равенства, выражающие связь между решением вырожденной задачи и решением исходной сингулярно возмущенной краевой задачи. Найдена формула начального скачка. Тем самым сформулирован алгоритм построения асимптотического разложения решения возмущенной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка с нелинейными краевыми условиями не упорядоченные относительно старших производных. In this paper we consider a singularly perturbed boundary value problems for ordinary dierential equations of the third order with nonlinear boundary conditions, which are not ordered with respect to the highest derivatives. For the expansion coecients recurrent linear dierential equations and initial conditions are found. We found degenerate equation. The conditions for degenerate equation are dened. On the interval 0 ≤ t ≤ 1 the approximate solution YN(t; ἐ ) of auxiliary perturbed initial problems with accuracy on the order O(ἐ N+1). We obtained a uniform asymptotic solution of the initial value problem for a singularly perturbed equation with up to an arbitrary order. Limit relations, expressing the relationships between solution of degenerate problem and solution of original singularly perturbed boundary value problem are set. A formula of the initial jump is found out. Thus, an algorithm for constructing the asymptotic expansion of solution of perturbed boundary value problems for ordinary dierential equations of the third-order nonlinear boundary conditions, which are not ordered with respect to the highest derivatives, are formulated.