О ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО ДВУОСЕСИММЕТРИЧНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

  • T. G. Ergashev Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства, Узбекистан, г. Ташкент
  • A. Hasanov Институт Математики, Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства, Узбекистан, г. Ташкент, Факультет математики, анализа, логики и дискретной математики, Гентский университет, Бельгия, г. Гент
Ключевые слова: гипергеометрическая функция Аппеля двух переменных, потенциалы двойного и простого слоев, функция Грина, фундаментальное решение

Аннотация

Фундаментальные решения обобщенного двуосесимметричного эллиптического уравнения выражаются через известную гипергеометрическую функцию Аппеля с двумя переменными, свойства которой необходимы для изучения краевых задач для указанного выше уравнения. В данной работе, используя некоторые свойства гипергеометрической функции Аппеля, доказываем предельные теоремы и выводим интегральные уравнения, касающиеся плотности потенциалов двойного и простого слоев. Применим результаты построенной теории потенциала к исследованию задачи Дирихле для двумерного эллиптического уравнения с двумя сингулярными коэффициентами в области, ограниченной в первой четверти плоскости.

Литература

[1] Mikhlin S.G., An Advanced Course of Mathematical Physics, North Holland Series in Applied Mathematics and Mechanics,
11 North-Holland Publishing, Amsterdam, London, 1970.
[2] G¨unter N. M., Potential Theory and Its Applications to Basic Problems of Mathematical Physics, Frederick Ungar
Publishing Company, New York, 1967.
[3] Kondratev B.P. , Potential theory. New methods and problems with solutions, Mir, Moscow, 2007.
[4] Gellerstedt S., Sur un probleme aus limites pour l’equation y2szxx +zyy = 0, Arkiv Mat. Ast och Fysik, 25A(10) (1935),
1–12.
[5] Frankl F.I., Selected works on gas dynamics, Nauka, Moscow, 1973.
[6] Pulkin S. P. , Some boundary-value problems for the equation uxx uyy + p
xux = 0; Scientistic Notes Kuibyshev Pedag.
Inst., 21 (1958), 3–54.
[7] Smirnov M. M., Degenerate Elliptic and Hyperbolic Equations, Nauka, Moscow, 1966.
[8] Mavlyaviev R.M. Solution of fundamental boundary value problems for a B-elliptic equation by the potential method,
Russian Mathematics, 46(9), 6163 (2002).
[9] Khismatullin A.Sh. Solution of boundary value problems for one degenerate B-elliptic equation of the 2nd kind by the
method of potentials, Russian Mathematics, 51(1), 5870 (2007).
[10] Mukhlisov F. G., Nigmedzyanova A. M. Solution of boundary value problems for a degenerating elliptic equation of the
second kind by the method of potentials, Russian Mathematics, 53(8), 46–57 (2009).
[11] Ergashev T.G. Potentials for three-dimensional singular elliptic equation and their application to the solving a mixed
problem, Lobachevskii Journal of Mathematics, 41(6), 1067–1077 (2020).
[12] Ergashev T. G. Double- and simple-layer potentials for a three-dimensional elliptic equation with a singular coefficient
and their applications, Russian Mathematics, 65(1), 72–86 (2021).
[13] Ergashev T.G. , Potentials for the Singular Elliptic Equations and Their Application, Results in Applied Mathematics,
7 (2020), 1–15. https://doi.org/10.1016/j.rinam.2020.100126
[14] Srivastava H.M. , Hasanov A. , Ergashev T.G. , A family of potentials for elliptic equations with one singular coefficient
and their applications , Mathematical Methods in Applied Sciences, 43(10) (2020), 6181–6199.
[15] Srivastava H. M., Hasanov A., Choi J., Double-layer potentials for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation,
Sohag Journal of Mathematics, 2(1) (2015), 1–10.
[16] Berdyshev A. S. , Hasanov A., Ergashev T.G., Double-layer potentials for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz
equation.II , Complex Variables and Elliptic Equations, 65(2) (2020), 316–332.
[17] Ergashev T.G., Third double-layer potential for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation, Ufa Mathematical
Journal, 10(4) (2018) , 111–121.
[18] Ergashev T.G., The fourth double-layer potential for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation,Tomsk State
University Journal of Mathematics and Mechanics, 50 (2017), 45–56.
[19] Erd´elyi A., Magnus W., Oberhettinger F. and Tricomi F.G., Higher Transcendental Functions, Vol. I, McGraw-Hill Book
Company, New York, Toronto and London, 1953; Russian edition, Izdat. Nauka, Moscow, 1973.
[20] Copson E.T., On Hadamard’s Elementary Solution, Proceedings of the Poyal Society of Edinburgh Section A:
Mathematics, 69(1) (1970), 19–27.
[21] Ergashev T.G., Fundamental solutions for a class of multidimensional elliptic equations with several singular coefficients,
Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics, 13(1) (2020), 48–57.
[22] Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M., Tables of Integrals, Series, and Products (Corrected and Enlarged edition prepared by A.
Jeffrey and D. Zwillinger), Academic Press, New York, 1980; Eighth edition, 2014.
Опубликован
2021-04-16