Асимптотика решений уравнения Штурма–Лиувилля с мероморфным потенциалом

Аңдатпа

В предлагаемой работе изучается вопрос о влиянии полюсов потенциала на асимптотику ре-
шений соответствующего уравнения Штурма–Лиувилля при больших значениях спектраль-
ного параметра. Показано, что асимптотика решений в существенном зависит от того, вы-
полняется или нет для полюсов потенциала условие тривиальной монодромии. Так, если
кривая и стягивающая ее хорда не содержат полюсов потенциала, а все полюса, лежащие
внутри области, ограниченной кривой и ее хордой, удовлетворяют условию тривиальной мо-
нодромии, то результат аналитического продолжения вдоль этой кривой решения с любыми
начальными условиями на одном из концов кривой имеет такую же асимптотику, как в слу-
чае голоморфного потенциала. Если внутри области, ограниченной кривой и ее хордой, есть
хотя бы один полюс, не удовлетворяющий условию тривиальной монодромии, то асимпто-
тика аналитического продолжения вдоль рассматриваемой кривой любого фиксированного
решения будет определяться матрицами монодромии части полюсов, лежащих внутри ука-
занной области. Основываясь на полученных оценках, найдена асимптотика спектра опера-
тора Штурма–Лиувилля на кривой, потенциал которого имеет внутри выпуклой оболочки
указанной кривой один полюс второго порядка, не удовлетворяющий условию тривиальной
монодромии.