Анализ конечно-объемно-элементной схемы решения модельной задачи двухфазной неравновесной фильтрации

Аннотация

В работе предлагается гибридный численный метод решения модельной задачи двухфазной неравновесной фильтрации несжимаемой жидкости. Данная задача является актуальной в современной теории движения многофазных жидкостей в пористых средах и имеет множество приложений. Изучаемая модель основана на предположении, что относительные фазовые проницаемости и капиллярное давление зависят не только от насыщенности, но также от ее временной производной.  Уравнение для насыщенности в данной задаче относится к типу конвекции-диффузии с преобладанием конвекции, которое также содержит слагаемое третьего порядка для учета эффектов неравновесности. В силу гиперболического характера уравнения его решение сопровождается рядом трудностей, которые приводят к необходимости надлежащего выбора метода решения. В отличие от предыдущих работ, в данной работе применяется конечно-объемно-элементный метод решения задачи, построение которого основывается на интегральных уравнениях баланса, а приближенное решение выбирается из конечно-элементного пространства. При этом для дискретизации задачи используются две различные двойственные сетки на базе основной триангуляции. В работе получен ряд априорных оценок, из которых следует безусловная устойчивость схемы, а также ее сходимость со вторым порядком. К числу преимуществ используемого подхода можно отнести локальную консервативность схемы, а также сравнительную простоту программной реализации метода. Данные результаты подтверждаются численным тестом, проведенным на примере модельной задачи.

Литература

[1] Xiong Q., Baychev T.G., and Jivkov A.P., "Review of pore network modelling of porous media: Experimental characterisations, network constructions and applications to reactive transport", Journal of Contaminant Hydrology, 192 (2016): 101-117.
[2] Al-Bayati D., Saeedi A., Ktao I., Myers M., White C., and Xie Q., "Insight into Influence of Crossflow in layered Sandstone porous media during Miscible and Immiscible CO2 WAG Flooding", InterPore 2019 Valencia: Book of Abstracts (2019): 66.
[3] Allen G.H. and Sahimi M., "Flow, Transport, and Reaction in Porous Media: Percolation Scaling, Critical-Path Analysis, and Effective Medium Approximation" (AGU Publications, 2017).
[4] Hassanizadeh S.M. and Graw W.G., "Toward an improved description of the physics of twophase flow", Advances in Water Resources, 16 (1993): 53-67.
[5] O'Carroll D.M., Phelan T.J., and Abriola L.M., "Exploring dynamic effects in capillary pressure in multistep outflow experiments", Water Resour Res., 41 (2005): W11419.
[6] Cuesta C., van Duijn C.J., and Hulshof J., "Infiltration in porous media with dynamic capillary pressure: travelling waves", Eur. J. Appl. Math., 11 (2000): 381-397.
[7] DiCarlo D.A., Juanes R., LaForce T., and Witelski T.P., "Nonmonotonic travelling wave solutions of infiltration in porous media", Water Resour. Res., 44 (2008): W02406.
[8] Barenblatt G.I., "Filtratsiya dvuh nesmeshivayuschihsya zhidkostei v odnorodnoi poristoi srede [Filtration of two nonmixing fluids in a homogeneous porous medium]", Mehanika gazov i zhidkostei, 5 (1971): 57-64 (in Russian).
[9] Cao X. and Mitra K., "Error estimates for a mixed finite element discretization of a two-phase porous media flow model with dynamic capillarity", Journal of Computational and Applied Mathematics, 353 (2019): 164-178.
[10] Nicaise S. and Bbekkouche F., "A posteriori error estimates for a fully discrete approximation of sobolev equations", Confluentes Math., 11 (2019): 3-28.
[11] Fan Y., and Pop I.S., "A class of pseudo-parabolic equations: existence, uniqueness of weak solutions, and error estimates for the Euler-implicit discretization", Math. Meth. Appl. Sci., 34 (2011): 2329-2339.
[12] Bouadjila K., Mokrane A., Saad A.S., and Saad M., "Numerical analysis of a finite volume scheme for two incompressible phase flow with dynamic capillary pressure", Computers and Mathematics with Applications, 75:10 (2018): 3614-3631.
[13] Luo Z.D., "A Stabilized Crank-Nicolson Mixed Finite Volume Element Formulation for the Non-stationary Incompressible Boussinesq Equations", Journal of Scientific Computing, 66 (2016): 555-576.
[14] Kumar S., "Finite volume element methods for incompressible miscible displacement problems in porous media (Ph.D. thesis)" (Department of mathematics indian institute of technology, Bombay, 2008).
[15] Vasilevsky Yu.V. and Kapyrin I.V., "Dve shemy rasshheplenija dlja nestacionarnoj zadachi konvekcii-diffuzii na tetrajedralnyh setkah [Two splitting schemes for the nonstationary convection-diffusion problem on tetrahedral meshes ]", Zhurnal vychislitel'noj matematiki i matematicheskoj fiziki, 48 (2008): 1429-1447 (in Russian).
[16] Luo Z., Li H., and Sun P., "A fully discrete stabilized mixed finite volume element formulation for the non-stationary conduction–convection problem", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 404 (2013): 71-85.
[17] Ferraris S., Bevilacqua I., Canone D., Pognant D., and Previati M., "The Finite Volume Formulation for 2D Second-Order Elliptic Problems with Discontinuous Diffusion/Dispersion Coefficients", Mathematical Problems in Engineering, 187634 (2012): 1-24.
[18] Nikitin K.D., "Nelinejnyj metod konechnyh obyomov dlja zadach dvuhfaznoj filtracii [Nonlinear finite volume method for two-phase filtration problems]", Matematicheskoe modelirovanie, 22 (2010): 131-147 (in Russian).
[19] Lin Y., Liu J., and Yang M., "Finite volume element methods: an overview on recent developments", International Journal of Numerical analysis and modeling, Series B., 4 (2013): 14-34.
[20] Sayevand K. and Arjang F., "Finite volume element method and its stability analysis for analyzing the behavior of sub-diffusion problems", Applied Mathematics and Computation, 290 (2016): 224-239.
[21] Voller V. R., "Basic control volume finite element methods for fluids and solids" (World Scientific Publishing, 2009).
[22] Omariyeva D., Temirbekov N., Madiyarov M., "Stabilized finite element method for solving the saturation equation in the two-phase non-equilibrium flow problem", Joint Issue of Bulletin of the National Engineering Academy of the Republic of Kazakhstan and Computational Technologies, 3:1 (2020): 209-216.
Как цитировать
OMARIYEVA, Dinara; YERGALIYEV, Yerlan. Анализ конечно-объемно-элементной схемы решения модельной задачи двухфазной неравновесной фильтрации. Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика, [S.l.], v. 114, n. 2, june 2022. ISSN 2617-4871. Доступно на: <https://bm.kaznu.kz/index.php/kaznu/article/view/1001>. Дата доступа: 08 aug. 2022 doi: https://doi.org/10.26577/JMMCS.2022.v114.i2.012.
Ключевые слова Конечно-объемно-элементный метод, неравновесная фильтрация, динамическое капиллярное давление, двойственная сетка, априорная оценка, сходимость, устойчивость, вычислительный эксперимент